Probabilité qu'un processus de Poisson indépendant en dépasse un autre

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J'ai déjà posé cette question d'une autre manière sur d'autres échanges de piles, donc désolé pour le republication quelque peu.

J'ai posé des questions à mon professeur et à quelques doctorants, sans réponse définitive. Je vais d'abord énoncer le problème, puis ma solution potentielle et le problème avec ma solution, donc désolé pour le mur de texte.

Le problème:

Supposons deux processus de Poisson indépendants et , avec et pour le même intervalle, sous réserve de . Quelle est la probabilité qu'à tout moment, à mesure que le temps tend vers l'infini, la sortie agrégée du processus soit supérieure à la sortie agrégée du processus plus , c'est-à-dire . Pour illustrer avec un exemple, supposons que deux ponts et , en moyenne, les et traversent le pont etMRλRλMλR>λMMRDP(M>R+D)RMλRλMRMrespectivement par intervalle, et . voitures ont déjà roulé sur le pont , quelle est la probabilité que , à tout point dans le temps plus de voitures au total ont poussé sur le pont de .λR>λMDRMR

Ma façon de résoudre ce problème:

Nous définissons d'abord deux processus de Poisson:

M(I)Poisson(μMI)R(I)Poisson(μRI)

L'étape suivante consiste à trouver une fonction qui décritP(M>R+D) après un nombre donné d'intervalles . Cela se produira dans le cas où M ( I ) > k + D dépend de la sortie de R ( I ) = k , pour toutes les valeurs non négatives de k . Pour illustrer, si la production totale de R est X , alors la sortie totale de M doit être supérieur à X + D . Comme indiqué ci-dessous.IM(I)>k+DR(I)=kkRXMX+D

P(M(I))>R(I)+D)=k=0n[P(M(I)>k+DR(I)=k)]

n

En raison de l'indépendance, cela peut être réécrit comme le produit des deux éléments, où le premier élément est 1-CDF de la distribution de Poisson et le deuxième élément est le Poisson pmf:

P(M(I)>R(I)+D)=k=0n[P(M(I)>k+D)1Poisson CDFP(R(I)=k)Poisson pmf]

n

Pour créer un exemple, supposons , λ R = 0,6 et λ M = 0,4 , ci-dessous le graphique de cette fonction sur I :D=6λR=0.6λM=0.4I

entrez la description de l'image ici

L'étape suivante consiste à trouver la probabilité que cela se produise à tout moment, Appelons que . Ma pensée est que cela équivaut à 1 résultat moins la probabilité de M étant jamais au- dessus R + D . -À- dire laisser N infini d'approche ce qui est P ( R ( N ) + D M ( N ) ) conditionnelle à ce qui est également vrai pour toutes les valeurs précédentes de N .QMR+DNP(R(N)+DM(N))N

est identique à 1 - P ( M ( I ) > R ( I ) + D ) , permet de définir cela comme la fonction g (I):P(R(I)+DM(I))1P(M(I)>R(I)+D)

g(I)=1P(M(I)>R(I)+D)

Comme tend vers l'infini, cela peut également être réécrit comme l'intégrale géométrique sur la fonction g ( I ) .Ng(I)

Q=1exp(0Nln(g(I))dI)

Q=1exp(0Nln(1P(M(I)>R(I)+D))dI)

N

Où nous avons la fonction de d'en haut.P(M(I)>R(I)+D)

Q=1exp(0Nln(1k=0n[P(M(I)>k+D)1Poisson CDFP(R(I)=k)Poisson pmf])dI)

N

n

Maintenant, cela devrait me donner la valeur finale de , pour tout D , λ R et λ M donné . Cependant, il y a un problème, nous devrions être en mesure de réécrire les lambdas comme nous le voulons car la seule chose qui importe est leur proportion les uns par rapport aux autres. Pour s'appuyer sur l'exemple précédent avec D = 6 , λ R = 0,6 et λ M = 0,4 , c'est en fait la même chose que D = 6 , λ R = 0,06 et λ M = 0,04QDλRλMD=6λR=0.6λM=0.4D=6λR=0.06λM=0.04, tant que leur intervalle est divisé par 10. Soit 10 voitures toutes les 10 minutes, c'est la même chose que 1 voiture toutes les minutes. Cependant, cela produit un résultat différent. , λ R = 0,6 et λ M = 0,4 donne un Q de 0,5856116 et D = 6 , λ R = 0,06 et λ M = 0,04 donne un Q de 0,9998507 . La réalisation immédiate est que 1 - ( 1 -D=6λR=0.6λM=0.4Q0.5856116D=6λR=0.06λM=0.04Q0.9998507 , et la raison est en fait assez simple si nous comparons les graphiques des deux résultats, le graphique ci-dessous montre la fonction pour D = 6 , λ R = 0,06 et λ M = 0,04 .1(10.5856116)10=0.9998507D=6λR=0.06λM=0.04

entrez la description de l'image ici

Comme on peut le voir, la probabilité ne change pas, mais il faut maintenant dix fois plus d'intervalles pour arriver à la même probabilité. Comme dépend de l'intervalle de la fonction, cela a naturellement une implication. Cela signifie évidemment que quelque chose ne va pas, car le résultat ne devrait pas dépendre de mon lambda de départ, surtout parce qu'il n'y a pas de lambda de départ correct 0,04 et 0,06 est aussi correct que 0,4 et 0,6 ou 1 et 1,5, etc., tant que l'intervalle est mis à l'échelle en conséquence. Par conséquent, alors que je peux facilement mettre à l'échelle la probabilité, c'est-à-dire passer de 0,4 et 0,6 à 0,04 etQ0.040.060.40.611.50.40.60.04 équivaut à mettre à l'échelle la probabilité avec un facteur de 10. Cela produit évidemment le même résultat, mais comme tous ces lambdas sont des points de départ également valables, alors ce n'est évidemment pas correct.0.06

Pour montrer cet impact, j'ai représenté en fonction de t , où t est un facteur d'échelle des lambdas, avec des lambdas de départ de λ M = 0,4 et λ R = λ M1,5 . Le résultat peut être vu dans le graphique ci-dessous:QttλM=0.4λR=λM1.5

entrez la description de l'image ici

C'est là que je suis coincé, pour moi l'approche semble fine et correcte, mais le résultat est évidemment faux. Ma pensée initiale est que je manque quelque part une ré-échelle fondamentale, mais je ne peux pas pour la vie de moi trouver où.

Merci d'avoir lu, toute aide est grandement appréciée.

De plus, si quelqu'un veut mon code R, faites-le moi savoir et je le téléchargerai.

pas de néin
la source
J'ai fait un nettoyage assez complet de votre code MathJax. Si vous jetez un coup d'œil, vous verrez quelques informations sur l'utilisation standard et correcte. (Plus de travail pourrait être fait; peut-être plus tard.)
Michael Hardy
Impressionnant! Merci beaucoup, je n'étais pas au courant, y a-t-il un guide spécifique à suivre?
no nein
J'ai édité des choses supplémentaires en fonction de ce que vous avez fait.
no nein
@nonein Il y a un tout petit peu dans l'aide à l'édition, mais au-delà, il y a le tutoriel de base de Math.SE MathJax et une référence rapide . Les guides sur l'écriture de mathématiques dans LaTeX (qui sont faciles à google) aident souvent si vous essayez de trouver quelque chose qui n'est pas couvert dans la référence rapide (bien qu'il ait maintenant une couverture assez complète du sous-ensemble de MathJax).
Glen_b -Reinstate Monica

Réponses:

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T=(0=t0<t1<t2<).i>0,

B(i)={+1if R(ti)=11if M(ti)=1

B(i)W:W(0)=0W(i+1)=W(i)+B(i)i>0. W(i)RMti.

Figure: simulation

RM(ti,W(i))R(ti)M(ti)

b=0,1,2,,EbWibf(b)

f(D+1).

λ=λR+λM.W

Pr(B(i)=1)=λRλ and Pr(B(i)=1)=λMλ.

Donc,

WD1.

La façon la plus élémentaire de trouver cette chance observe que

f(0)=1

W(0)=0;b>0,±1

f(b)=λRλf(b+1)+λMλf(b1).

λRλM,b0

f(b)=(λMλR)b,

comme vous pouvez le vérifier en le branchant dans les équations de définition précédentes. Donc,

Pr(ED+1)=f(D+1)=(λMλR)D+1.

whuber
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