Preuve que si un moment supérieur existe alors un moment inférieur existe également

Le $r$ ème moment d'une variable aléatoire $X$ est fini si

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

J'essaie de montrer que pour tout entier positif $s<r$ , alors le $s$ ème instant $\mathbb E[|X^s|]$ est également fini.

self-study moments function nona
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Est-ce des devoirs? Si oui, qu'avez-vous essayé jusqu'à présent? De plus, j'ai essayé de rendre votre question plus lisible, faites-le moi savoir si j'ai fait une erreur.

Gschneider

J'ai lu le manuel de billingsley et recherché sur Internet mais aucune preuve exacte n'existe. Ce que j'ai trouvé n'est qu'un indice, peut-être que l'inégalité de Jensen peut être utilisée.

nona

Envisagez de réécrire

| X^{r} |

$|X^r|$ comme

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$ et voyez si cela vous mène quelque part.

Gschneider

Il y a une différence entre un moment existant et un moment fini . En particulier, un moment peut exister, mais être infini. La terminologie à laquelle vous êtes présenté est un peu imprécise. Dans tous les cas, il s'agit d'un résultat standard sur les espaces

L_{p}

$L_p$ ; il n'est pas vrai qu '"aucune preuve exacte n'existe". :)

cardinal

Réponses:

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

StasK
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Bien. Vous pouvez également le prouver à l'aide de l'inégalité de Jensen.

Stéphane Laurent

(+1) J'aime cela car il ne repose que sur les propriétés les plus élémentaires de l'attente, à savoir la monotonie. Dans le cas où l'on s'inquiète de ce qu'il faut faire avec le côté droit, ils peuvent noter que . Si l'on préfère une application de Jensen, ils peuvent écrire et noter que .

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

Cardinal

@cardinal: (+1) Je préfère votre inégalité car elle implique directement ...

| X |^{r}

$|X|^r$

Xi'an