La moyenne harmonique minimise la somme des erreurs relatives au carré

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Je recherche une référence où il est prouvé que la moyenne harmonique

x¯h=ni=1n1xi

minimise (en ) la somme des erreurs relatives au carréz

i=1n((xiz)2xi).
Martin Van der Linden
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Réponses:

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Pourquoi avez-vous besoin d'une référence? Il s'agit d'un simple problème de calcul: pour que le problème tel que vous l'avez formulé ait un sens, nous devons supposer que tout . Définissez ensuite la fonction f ( z ) = n i = 1 ( x i - z ) 2xi>0 Calculer ensuite la dérivée par rapport àz: f(z)=-2n i=1(1-z

f(z)=i=1n(xiz)2xi
z puis la résolution de l'équationf(z)=0donne la solution. Maintenant, bien sûr, nous devons vérifier qu'il s'agit bien d'un minimum, pour cela calculer la dérivée seconde: f(z)=-2n i=1(0-1
f(z)=2i=1n(1zxi)
f(z)=0 pour la dernière inégalité, nous avons finalement utilisé que tous lesxi>0
f(z)=2i=1n(01xi)=2i=1n1xi>0
xi>0 . Sans cette hypothèse, nous pourrions en effet risquer d'avoir trouvé un maximum!

En ce qui concerne une référence, peut-être https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean ou https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean ou des références à l'intérieur.

kjetil b halvorsen
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Merci pour votre réponse. Une référence me ferait gagner de la place. Je veux citer le résultat en tant que lemme dans une autre preuve sans avoir à inclure une preuve autonome du lemme.
Martin Van der Linden
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Il est difficile de trouver une référence explicite, son considéré comme basique pour en mériter une! Ne pouvez-vous pas simplement dire que la preuve est un exercice de calcul de base?
kjetil b halvorsen
Aussi basique soit-elle, je préfère toujours fournir une référence. Mais je comprends que les résultats de base sont difficiles à trouver, et laisser la preuve au lecteur est clairement une option.
Martin Van der Linden
Ping temporaire hors sujet: envisagez de voter pour le synonyme spearman-> spearman-rho ici stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonymes . Merci
amibe dit Réintégrer Monica
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1/xi

β

ωi(yiβ)2.

X=(111)
W=(ω1000ω20000ωn).

xiyiβzωi=1/xi0 . La solution est

β^=(XWX)1XWy=ixiωiiωi=ixi/xii1/xi=n1/xi,

QED .


commentaires

  1. La même analyse s'applique à tous les ensembles de poids positifs, fournissant une généralisation de la moyenne harmonique et un moyen utile de le caractériser.

  2. xi

  3. xiW

Référence

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck et G. Geoffrey Vining, Introduction to Linear Regression Analysis. Cinquième édition. J. Wiley, 2012. Section 5.5.2.

whuber
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