Comment trouver la probabilité de dimanches supplémentaires dans une année bissextile?

Quelle est la chance qu'une année bissextile compte 53 dimanches?

Selon mon essai, ce sera 2/7? Puisque 366 jours dans une année bissextile signifie 52 semaines et 2 jours de plus, donc à partir des deux jours supplémentaires, la probabilité du dimanche est de 2/7.

PS: C'est une question que j'ai trouvée dans un livre de statistiques de base.

Le calendrier grégorien privilégie cinq des sept jours de la semaine pendant les années bissextiles. Par conséquent, la chance n'est pas précisément .$2/7$

C'était essentiellement le problème B3 du Concours de mathématiques Putnam de 1950 :

$n$ est choisi au hasard parmi les nombres naturels. Montrer que la probabilité que le 25 décembre de l'année soit un mercredi n'est pas de 1/7.$n$

Dans le calendrier grégorien , les années qui sont des multiples de sont des années bissextiles (avec jours), mais les années qui sont des multiples de ne sont pas des années bissextiles (et ont donc jours), à l'exception du fait que les années qui sont des multiples de sont des années bissextiles. (Beaucoup d'entre nous se souviennent de la dernière exception en ) Cela crée un cycle de ans contenant années bissextiles.$4$$7\times 52 + 2=366$$100$$7\times 52+1=365$$400$$2000$$400$$400/4 - 400/100 + 400/400 = 97$

Ce qui est particulièrement intéressant, c'est que le nombre total de jours dans ce cycle est un multiple de sept:

Cela montre que le cycle de ans comprend un nombre entier de semaines. Par conséquent, la configuration des jours de la semaine est exactement la même d'un cycle à l'autre.$400$

Nous pouvons donc interpréter la question comme demandant la chance de dimanches lors d'un échantillonnage aléatoire et uniforme de n'importe quel cycle de années bissextiles. Un calcul de force brute (utilisant, disons, le fait que le 1er janvier 2001 était un lundi) montre que des années bissextiles de chaque cycle ont dimanches. Par conséquent, la chance est$53$$400$$28$$97$$53$

Notez que cela n'est pas égal à : il est légèrement supérieur. Par ailleurs, il y a la même chance de mercredis, vendredis, samedis ou lundis et seulement une chance de mardis ou jeudis.$28/98 = 2/7$$53$$27/97$$53$

Pour ceux qui souhaitent effectuer des calculs plus détaillés (et se méfier de toute simplification mathématique), voici un code de force brute qui calcule et examine tous les jours de la semaine pour un ensemble d'années donné. À la fin, il affiche le nombre d'années avec apparitions de chaque jour de la semaine. C'est écrit . $53$R

Voici sa sortie pour le cycle :$2001-2400$

Friday    Monday  Saturday    Sunday  Thursday   Tuesday Wednesday 
    28        28        28        28        27        27        28 

Voici le code lui-même.

leapyear <- function(y) {
  (y %% 4 == 0 & !(y%% 100 == 0)) | (y %% 400 == 0)
}
leapyears <- seq(2001, length.out=400)
leapyears <- leapyears[leapyear(leapyears)]
results <- sapply(leapyears, function(y) {
  table(weekdays(seq.Date(as.Date(paste0(y, "-01-01")), by="1 day", length.out=366)))
})
rowSums(results==53)

Oui, votre raisonnement est correct. À long terme, les années bissextiles sont presque également susceptibles de commencer n'importe quel jour de la semaine. Ainsi, la chance des 2 jours supplémentaires, y compris un dimanche, est d'environ 2/7.

w huber souligne qu'une bizarrerie du calendrier grégorien fait que le jour de début d'une année bissextile n'est pas réparti de manière tout à fait uniforme, de sorte que la vraie probabilité de 53 dimanches est de 1% ou plus que 2/7. Cependant 2/7 est presque certainement la réponse que les auteurs de votre manuel de statistiques voulaient que vous trouviez.