Qu'est-ce qu'Epsilon Convergence in Probability?

Je comprends que la formule de probabilité de convergence est $P[|X_n − X_\infty| \gt \epsilon ]\to 0$et je peux résoudre des problèmes en utilisant la formule. Quelqu'un peut-il l'expliquer intuitivement (comme j'ai cinq ans), en particulier en ce qui concerne ce$\epsilon$ est?

Puisque nous parlons de convergence - en particulier, dans ce cas, $X_n$ convergeant vers $X_\infty$ - nous voulons montrer que $X_n$ devient vraiment, vraiment, vraiment proche de $X_\infty$ comme $n$ devient de plus en plus grand.

Penser à $\varepsilon$comme tout nombre positif vraiment petit; dites que vous pensez$\varepsilon = 0.01$est assez bon. Ensuite, pour montrer que$X_n$ est vraiment, vraiment, vraiment proche de $X_\infty$, nous voulons montrer que $X_n$ tombe à l'intérieur $(X_\infty-0.01,X_\infty+0.01)$ pour suffisamment grand $n$. (Suffisamment grand$n$ signifie simplement qu'il y a des $n'$ de telle sorte que pour chaque $n > n'$, $X_n$ est à plus ou moins $0.01$ de $X_\infty$ avec probabilité 1.)

Mais dis que je ne suis pas convaincu que $X_n$ converge vers $X_\infty$ parce que $\varepsilon=0.01$semble juste trop grand pour moi. Alors à la place, laissez$\varepsilon = 0.0001$. Alors je suis convaincu que$X_n$ converge vers $X_\infty$ (ou ça $X_n$ est vraiment, vraiment, vraiment proche de $X_\infty$) si nous pouvons montrer que, pour des $n$, $X_n$ tombe à l'intérieur $(X_\infty-0.0001,X_\infty+0.0001)$.

Supposons que vous ayez beaucoup d'amis qui choisissent $\varepsilon$être de plus en plus petit. L'idée derrière la convergence est que pour tout$\varepsilon > 0$, aussi petit soit-il $\varepsilon$ obtient, montrant que $X_n$ tombe à l'intérieur $X_\infty\pm\varepsilon$ pour suffisamment grand $n$ démontre que $X_n$ converge vers $X_\infty$.

Dans les termes les plus élémentaires, $\varepsilon$est juste un petit nombre positif. En ce qui concerne la convergence, vous voulez pouvoir montrer que pour tout$\varepsilon > 0$ (afin que tous vos amis infinis avec différents $\varepsilon$ les valeurs sont convaincues), la séquence qui converge sera, à un moment donné, comprise entre plus ou moins $\varepsilon$de la limite à laquelle vous croyez que la séquence converge. Si vous ne pouvez pas prouver que votre séquence$\varepsilon$ de la limite estimée pour certains $\varepsilon$, alors la séquence ne peut pas converger vers cette limite.

Séquences de variables aléatoires.

L'intuition vient des métaphores. La métaphore suivante, qui modélise des quantités aléatoires en tirant des bouts de papier d'un conteneur, capture tous les éléments mathématiques essentiels tout en passant sous silence une condition technique ("mesurabilité") nécessaire pour donner un sens à des situations avec un nombre incalculable de tickets.

Considérons un modèle de ticket-in-a-box d'un exemple d'espace$\Omega$: le nom de chaque élément $\omega\in\Omega$est écrit sur un bout de papier (un "ticket") qui est mis dans la boîte. Les éléments avec une plus grande probabilité sont nommés sur plus de tickets.

Une variable aléatoire $X$est une manière cohérente d'écrire un nombre sur chaque ticket. "Cohérent" signifie que tous les billets pour un$\omega$ tous obtiennent la même valeur de $X$, écrit $X(\omega)$.

Une séquence de variables aléatoires $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ peut donc être conçu comme une séquence $X_1(\omega), X_2(\omega),\ldots$ écrit sur chaque ticket (toujours de manière cohérente).

$X_\infty$ est une autre variable aléatoire, qui est un nombre de plus écrit sur chaque ticket.

Événements et probabilité.

Laisser $\epsilon$être n'importe quel nombre réel. Nous en dirons plus à ce sujet ci-dessous.

L' événement $|X_n - X_\infty| \ge \epsilon$ décrit tous les billets $\omega\in\Omega$ dont les valeurs $X_n(\omega)$ et $X_\infty(\omega)$ diffèrent par $\epsilon$ou plus. C'est un sous-ensemble des billets dans la boîte. Ces tickets forment une partie de la boîte: cette proportion modélise leur probabilité ,$\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)$.

Limites.

Chaque affirmation sur une limite est une forme de jeu mathématique. Quand on écrit que certaines séquences ont une limite$L$, nous voulons dire que nous pouvons jouer un match contre un adversaire hypothétique (qui fait de son mieux pour nous faire perdre) et nous gagnerons toujours . Dans le jeu limité, votre adversaire nomme un nombre positif - généralement un petit nombre - que nous appellerons$\delta$. Vous gagnez si vous pouvez supprimer un nombre fini d'éléments de cette séquence et montrer que tous les éléments restants sont à distance$\delta$ de $L$. Comme dans n'importe quel jeu, vous pouvez calibrer votre réponse au mouvement de votre adversaire: les éléments que vous supprimez peuvent dépendre de$\delta$.

Limites de probabilité.

Appliquons le jeu limite à l'assertion $\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)\to 0$. Parce que cette assertion implique une quantité non spécifiée$\epsilon$, votre adversaire peut également spécifier sa valeur. Cela rend le jeu aussi difficile que possible pour vous de gagner.

Donc, quelles que soient les valeurs de $\epsilon$ et $\delta \gt 0$ précise votre adversaire, votre réponse sera de barrer un nombre fini de variables aléatoires $X_i$sur les billets. Pour chaque variable aléatoire restante$X_n$, laissez les billets où $X_n(\omega)$ diffère de $X_\infty(\omega)$ par $\epsilon$ ou plus être les "mauvais" pour $n$. Vous gagnez la partie à condition que les proportions de mauvais billets soient toujours inférieures à$\delta$(pour tous les$X_n$ qui restent).

Un peu de réflexion révèle la subtilité de ce jeu: les mauvais billets pour$n$ ne doivent pas avoir de relation avec les mauvais billets pour $m$ (où $n$ et $m$désigner l'une des variables aléatoires restantes que vous n'avez pas barrées). En d'autres termes, sur un ticket donné, les valeurs$X_n(\omega)$peut rebondir partout. La limite de probabilité est une déclaration sur ce qui est écrit sur tous les billets de la boîte, mais ce n'est pas une déclaration sur ce qui pourrait être écrit sur un billet individuel.