Un moyen plus simple de trouver

9

Considérons 3 échantillons iid tirés de la distribution uniforme , où est paramètre. Je veux trouver où est la statistique d'ordre .θ E [ X ( 2 ) | X ( 1 ) , X ( 3 ) ] X ( i ) iu(θ,2θ)θ

E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i

Je m'attendrais à ce que le résultat soit Mais la seule façon dont je peux montrer ce résultat semble être trop longtemps, je ne peux pas trouver de solution simple, est-ce que je manque quelque chose, y a-t-il un raccourci?

E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2

Ce que je fais est le suivant:

  • Je trouve la densité conditionnelle

    f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
  • J'intègre

E[X(2)|X(1),X(3)]=xf(x|x(1),x(3))dx

Détails:

J'adopte une formule générale pour la statistique de densité d'ordre (avec un indicateur de l'ensemble ) AI{A}A

fx(1),,x(n)(x1,,xn)=n!i=1nfx(xi)I{x(1)x(2)x(n)}(x1,,xn)

obtenir pour mon cas

fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1x2xn}(x1,,x3)

marginal de estfx(1),x(3)(u,v)

FX(1),X(3)(u,v)=FX(1),X(2),X(3)(u,X2,v)X2

C'est

FX(1),X(3)(u,v)=3!1θ3je{X1=uX2X3=v}(u,X,v)X=3!1θ3[v-u]

à cet effet

F(X(2)|X(2)=u,X(3)=v)=F(X(1)=u,X(2),X(3)=v)F(X(1)=u,X(3)=v)=3!1θ3jeuX2v(u,x2,v)3!1θ3[vu]=[vu]1I{u<x2<v}

qui donne

E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[v-u]-1uvXX=[v-u]-1[v2-u2]2=u+v2
leur
la source
Je n'ai pas regardé ce que vous avez fait, mais vous avez obtenu une réponse de , pas u+vu-v2u+v2
Mark L. Stone
@ MarkL.Stone vous avez raison ... J'ai corrigé que la dernière ligne, intégrale de était incorrecte. XX
les

Réponses:

5

Comme les ont tous une distribution uniforme, toutes les variables (non ordonnées) sont supposées indépendantes, et aucune autre statistique d'ordre ne se situe entre et , a une distribution uniforme tronquée pris en charge sur l'intervalle . Sa moyenne est évidemment , QED.X ( 1 ) X ( 3 ) X ( 2 ) [ X ( 1 ) , X ( 3 )XjeX(1)X(3) X(2)[X(1),X(3)](X(1)+X(3))/2


Si vous souhaitez une démonstration formelle, notez que lorsque les sont iid avec une distribution absolument continue , la densité conditionnelle de (conditionnelle à toutes les autres statistiques d'ordre) est , qui est la distribution tronquée. (Quand , est pris pour être ; et quand , est pris pour être ) Cela découle du pdf conjoint des fonctions d'ordre les statistiques , par exemple, ainsi que la définition des densités conditionnelles. F X ( k ) d F ( x k ) / ( F ( x ( k + 1 ) ) - F ( x ( k - 1 ) ) ) k = 1 F ( x 0 ) 0 k = n F ( x n + 1 ) 1XjeFX(k)F(Xk)/(F(X(k+1))-F(X(k-1)))k=1F(X0)0k=nF(Xn+1)1

whuber
la source
F(Xk)
1
F(X)=FX(X)X.