Considérons 3 échantillons iid tirés de la distribution uniforme , où est paramètre. Je veux trouver
où est la statistique d'ordre .θ E [ X ( 2 ) | X ( 1 ) , X ( 3 ) ] X ( i ) iu ( θ , 2 θ )θ
E [ X( 2 )| X( 1 ), X( 3 )]
X( i )je
Je m'attendrais à ce que le résultat soit
Mais la seule façon dont je peux montrer ce résultat semble être trop longtemps, je ne peux pas trouver de solution simple, est-ce que je manque quelque chose, y a-t-il un raccourci?
E[ X( 2 )| X( 1 ),X(3 )] = X(1 )+X(3 )2
Ce que je fais est le suivant:
Je trouve la densité conditionnelle
F( x( 2 )| X( 1 ), x( 3 )) = f( x( 1 ),x(2 ),x(3 ))F(x( 1),x( 3))
J'intègre
E [ X( 2 )| X( 1 ),X(3)]=∫xf(x|x(1),x(3))dx
Détails:
J'adopte une formule générale pour la statistique de densité d'ordre (avec un indicateur de l'ensemble ) AI{A}A
fx(1),…,x(n)(x1,⋯,xn)=n!∏i=1nfx(xi)I{x(1)≤x(2)≤⋯≤x(n)}(x1,⋯,xn)
obtenir pour mon cas
fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1≤x2≤⋯≤xn}(x1,⋯,x3)
marginal de estfx(1),x(3)(u,v)
fx(1),x(3)(u,v)=∫fx(1),x(2),x(3)(u,x2, v ) dX2
C'est
FX( 1 ), x( 3 )( u , v ) = ∫3 ! 1θ3je{ x1= u ≤ x2≤ x3= v }( u , x , v ) dx = 3 ! 1θ3[ v - u ]
à cet effet
F( x( 2 )| X( 2 )= u , x( 3 )= v ) = f( x( 1 )= u , x( 2 ), x( 3 )= v )F( x( 1 )= u , x( 3 )= v )= 3 ! 1θ3jeu ≤ x2≤ ⋯ ≤ v( u , x2, v )3 ! 1θ3[ v - u ]= [ v - u ]- 1je{ u < x2< v }
qui donne
E [ X( 2 )| X( 1 )= u , X( 3 )= v ] = [ v - u ]- 1∫vux dx = [ v - u ]- 1[ v2- u2]2= u + v2
Réponses:
Comme les ont tous une distribution uniforme, toutes les variables (non ordonnées) sont supposées indépendantes, et aucune autre statistique d'ordre ne se situe entre et , a une distribution uniforme tronquée pris en charge sur l'intervalle . Sa moyenne est évidemment , QED.X ( 1 ) X ( 3 ) X ( 2 ) [ X ( 1 ) , X ( 3 )Xje X( 1 ) X(3 ) X(2 ) [ X(1 ),X(3 )] ( X( 1 )+ X( 3 )) / 2
Si vous souhaitez une démonstration formelle, notez que lorsque les sont iid avec une distribution absolument continue , la densité conditionnelle de (conditionnelle à toutes les autres statistiques d'ordre) est , qui est la distribution tronquée. (Quand , est pris pour être ; et quand , est pris pour être ) Cela découle du pdf conjoint des fonctions d'ordre les statistiques , par exemple, ainsi que la définition des densités conditionnelles. F X ( k ) d F ( x k ) / ( F ( x ( k + 1 ) ) - F ( x ( k - 1 ) ) ) k = 1 F ( x 0 ) 0 k = n F ( x n + 1 ) 1Xje F X( k ) réF( xk) / ( F( x( k + 1 )) - F( x( k - 1 )) ) k = 1 F( x0) 0 k = n F( xn + 1) 1
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