Moyenne de la distribution exponentielle inverse

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Étant donné une variable aléatoire , quelles sont la moyenne et la variance de ?G = 1Oui=EXp(λ)g=1Oui

Je regarde la distribution gamma inverse, mais la moyenne et la variance ne sont définies que pour et respectivement ...α > 2α>1α>2

Diogo Santos
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Réponses:

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Étant donné que la distribution exponentielle inverse a , vous êtes tombé sur le fait que la moyenne de l'exponentielle inverse est . Et par conséquent, la variance de l'exponentielle inverse n'est pas définie.α=1

Si est distribué de façon exponentielle inverse, existe et est fini pour , et pour .E ( G r ) r < 1 = r = 1gE(gr)r<1=r=1

Mark L. Stone
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Ceci est lié à ma question ici
Diogo Santos
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Je vais montrer le calcul de la moyenne d'une distribution exponentielle afin qu'il vous rappelle l'approche. Ensuite, je vais opter pour l'exponentielle inverse avec la même approche.

Soit FOui(y)=λe-λy

E[Oui]=0yFOui(y)y

=0yλe-λyy

=λ0ye-λyy

Intégration par partie (ignorez pour l'instant le devant l'intégrale),λ

u=y,v=e-λyy

u=y,v=-1λe-λy

=y-1λe-λy-0-1λe-λyy

=y-1λe-λy+1λ0e-λyy

=y-1λe-λy-1λ2e-λy

Multipliez par le devant l'intégrale,λ

=-ye-λy-1λe-λy

Évaluer pour et ,0

=(0-0)-1λ(0-1)

=λ-1

Ce qui est un résultat connu.

Pour , la même logique s'applique.g=1Oui

E[g]=E[1Oui]=01yFOui(y)y

=01yλe-λyy

=λ01ye-λyy

La principale différence est que pour une intégration par pièces,

u=y-1

et

u=-1y-2

donc ça ne nous aide pas pour . Je pense que l'intégrale n'est pas définie ici. Wolfram alpha me dit qu'il ne converge pas.g=1y

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

α=1α>2

Étienne Vanasse
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exp(-λy)0y00ϵ1yyϵ>0E[g]
0

Après une simulation rapide (en R), il semble que la moyenne n'existe pas: entrez la description de l'image ici

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

À des fins de comparaison, voici ce qui se passe avec une véritable variable aléatoire exponentielle.

entrez la description de l'image ici

RUser4512
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La moyenne ne peut pas exister car l'exponentielle a une densité positive dans n'importe quel voisinage de zéro.
whuber
@whuber en effet, c'est ce que j'ai essayé de souligner: la moyenne empirique ne converge pas pour l'inverse d'une loi exponentielle, alors qu'elle le fait pour une loi exponentielle.
RUser4512
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dix-1000