Le théorème central limite indique que la moyenne des variables iid, lorsque va à l'infini, devient normalement distribuée.
Cela soulève deux questions:
- Peut-on en déduire la loi des grands nombres? Si la loi des grands nombres dit que la moyenne d'un échantillon des valeurs d'une variable aléatoire est égale à la vraie moyenne lorsque va à l'infini, alors il semble encore plus fort de dire (comme le dit la limite centrale) que la valeur devient \ mathcal N (\ mu, \ sigma) où \ sigma est l'écart type. Est-il juste alors de dire que la limite centrale implique la loi des grands nombres?
- Le théorème central limite s'applique-t-il à une combinaison linéaire de variables?
Réponses:
L'OP dit
Je suppose que cela signifie que l'OP croit que pour iid les variables aléatoires avec la moyenne et l'écart type , la fonction de distribution cumulative de converge vers la fonction de distribution cumulative de , une variable aléatoire normale avec moyenne et écart-type . Ou, le PO pense que des réarrangements mineurs de cette formule, par exemple la distribution de converge vers la distribution de , ou la distribution deXi μ σ FZn(a)
L'OP poursuit en disant
La loi faible des grands nombres dit que pour iid les variables aléatoires de moyenne finie , étant donné tout , Notez qu'il n'est pas nécessaire de supposer que l'écart type est fini.Xi μ ϵ>0
Donc, pour répondre à la question du PO,
Le théorème central limite tel qu'énoncé par l'OP n'implique pas la loi faible des grands nombres. Comme , la version OP du théorème central limite dit que tandis que la loi faible dit quen→∞ P{|Zn−μ|>σ}→0.317⋯ P{|Zn−μ|>σ}→0
À partir d'un énoncé correct du théorème de la limite centrale, on ne peut au mieux déduire qu'une forme restreinte de la loi faible des grands nombres s'appliquant à des variables aléatoires de moyenne finie et d'écart type. Mais la loi faible des grands nombres s'applique également aux variables aléatoires telles que les variables aléatoires de Pareto avec des moyennes finies mais un écart-type infini.
Je ne comprends pas pourquoi dire que la moyenne de l'échantillon converge vers une variable aléatoire normale avec un écart-type non nul est une affirmation plus forte que de dire que la moyenne de l'échantillon converge vers la moyenne de la population, qui est une constante (ou une variable aléatoire avec un écart-type nul si vous aimez).
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Pour la loi des grands nombres, vous devez avoir toutes les variables à définir sur le même espace de probabilité (car la loi des grands nombres est une déclaration sur la probabilité d'un événement déterminé par , pour tous les simultanément). Pour la convergence dans la distribution, vous pouvez avoir différents espaces de probabilité, ce qui simplifie de nombreux aspects des preuves (par exemple, augmenter les espaces imbriqués, très courant pour diverses preuves de tableau triangulaire). Mais cela signifie également que vous ne pouvez faire aucune déclaration concernant les distributions conjointes de et , par exemple. Donc non, la convergence dans la distribution n'implique pas la loi des grands nombres, sauf si vous avez un espace de probabilité commun pour toutes les variables.X¯n n X¯n X¯n+1
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Tout d'abord, bien qu'il existe de nombreuses définitions, l'une des formes standard du théorème de la limite centrale dit que converge en distribution vers , où est la moyenne de l' échantillon de copies iid de quelque variable aléatoire .n−−√(X¯n−EX) N(0,Var(X)) X¯ n X
D' autre part, supposons que nous avons deux variables aléatoires indépendantes et . Alors ouX Y
En d'autres termes, une combinaison linéaire de variables aléatoires ne converge pas vers une combinaison linéaire de normales sous le CLT, juste une normale. Cela a du sens car une combinaison linéaire de variables aléatoires n'est qu'une variable aléatoire différente à laquelle CLT peut être appliqué directement.
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