Comment ajouter deux variables aléatoires dépendantes?

Je sais, je ne peux pas utiliser la convolution. J'ai deux variables aléatoires A et B et elles sont dépendantes. J'ai besoin de la fonction distributive de A + B

random-variable non-independent Mesko
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Si A et B sont dépendants, alors la distribution conjointe de A et B est nécessaire pour arriver à la distribution de A + B.

vinux

Je ne comprends pas votre question. Que savez-vous et pourquoi ne pouvez-vous pas utiliser la convolution?

Xi'an

Je sais que la fonction distributive de A et B. f A et B sont deux variables aléatoires continues indépendantes, alors je peux trouver la distribution de Z = A + B en prenant la convolution de f (A) et g (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞ − ∞f (A) g (z − B) dA Mais que puis-je faire quand ils ne sont pas indépendants? Je suis désolé, si c'est une question stupide.

Mesko

Ce n'est pas une question stupide Mesko, mais ce que les gens soulignent, c'est qu'il a besoin de plus d'informations. La réponse dépend de la façon dont

ne parviennent pas à être indépendants. Une description complète de cela est donnée par la distribution conjointe de

, ce que demande vinux. Xi'an sonde un peu plus délicatement mais cherche vraiment le même genre d'information pour vous aider à progresser.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

whuber

Réponses:

Comme le souligne vinux, il faut la distribution conjointe de et , et il ne ressort pas clairement de la réponse d'OP Mesko "Je connais la fonction distributive de A et B" qu'il dit qu'il connaît la distribution conjointe de A et B: il peut disons bien qu'il connaît les distributions marginales de A et B. Cependant, en supposant que Mesko connaît la distribution conjointe, la réponse est donnée ci-dessous. $A$ $B$

$A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ et nous obtenons la formule de convolution plus familière pour les variables aléatoires indépendantes. Un résultat similaire s'applique également aux variables aléatoires discrètes.

$A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ of $A+B$ as the total probability mass in the region of the plane specified as $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ and compute the probability density function, or the probability mass function, or whatever, from the distribution function. Indeed the above formula is obtained by writing $F_{A+B}(z)$ as a double integral of the joint density function over the specified region and then "differentiating under the integral sign.''

Dilip Sarwate
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This is related to my comment and answer on another question dealing with joint distributions a few days ago.

Xi'an

Beforehand , I don't know if what i'm saying is correct but I got stuck on the same problem and I tried to solve it in this way:

express the joint distribution using the heaviside step function:

f_{A, B} (a, b) = (a + b) H (a, b) H (- a + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$ or equivalently

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$ Now you can perform the integral without caring about limits of integration.

This is the wolfram rapresentation of the joint : A

Computing the integral I have : B

Plotted : C

That's the function :

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$ and it's normalized as you can easily check.

R.Lac
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The question did nt seem to be specific enough about the joint distribution to get an answer. How did you come up with one.?

Michael R. Chernick

+1 for correctly solving the alleged counterexample in @cdlg's answer and showing that the calculations if carried out correctly do give the correct answer, and not the erroneous s results in cdlg's answer. I can't believe that that answer has received two upvotes.

Dilip Sarwate