Le théorème de Basu nécessite-t-il une suffisance minimale?

Casella & Berger énonce le théorème de Basu (Th 6.2.24) comme suit:

Si est une statistique complète et minimale suffisante, alors est indépendante de toute statistique auxiliaire. $T(X)$ $T(X)$

Cependant, en conférence, j'ai vu une preuve du théorème qui n'utilisait que la suffisance, pas la suffisance minimale. La preuve était essentiellement une application de la loi de la probabilité totale.

Wikipedia déclare le théorème de Basu en utilisant la suffisance et l'exhaustivité limitée (une exigence plus faible que l'exhaustivité), ce qui est d'accord avec mon professeur.

Que donne la version Casella-Berger?

sufficient-statistics demi-passe
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En ce qui concerne la preuve de Wikipédia, rappelez-vous le théorème de Bahadur: si est une statistique suffisamment complète et de dimension finie, alors elle est suffisamment minimale.

T

$T$

Zen

Je vois. Donc, la version présentée par mon conférencier ne casse que dans le cas qui n'est pas complet. Je vous remercie!

demi-passe du

Réponses:

Pour réaliser que la suffisance ne suffit pas, considérons que, lorsque est une statistique suffisante, est également une statistique suffisante. Y compris le cas où est une statistique accessoire. Cela signifie que et ne peuvent pas être indépendants. $T(X)$ $(T(X),S(X))$ $S(X)$ $(T(X),S(X))$ $S(X)$

Xi'an
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