Définition mathématique des asymptotiques de remplissage

J'écris un article qui utilise des asymptotiques de remplissage et un de mes examinateurs m'a demandé de fournir une définition mathématique rigoureuse de ce qu'est l'asymptotique de remplissage (c.-à-d. Avec des symboles et des notations mathématiques).

Je n'arrive pas à en trouver dans la littérature et j'espérais que quelqu'un pourrait me diriger vers certains ou me fournir une définition auto-écrite.

Si vous n'êtes pas familier avec les asymptotiques de remplissage (également appelées asymptotiques à domaine fixe), ce sont les suivantes: Les asymptotiques de remplissage sont basées sur des observations qui deviennent de plus en plus denses dans certaines régions fixes et délimitées à mesure que leur nombre augmente.

Autrement dit, l'asymptotique de remplissage est l'endroit où plus de données sont collectées en échantillonnant plus densément dans un domaine fixe.

J'ai déjà regardé Stein 1999 et Cressie 1993 mais rien de "mathématiquement" rigoureux là-bas.

Voici le passage cité de mon article.

Par conséquent, il est important de reconnaître le type d'asymptotique auquel nous sommes confrontés. Dans notre cas, les asymptotiques dont nous traitons sont basées sur des observations qui deviennent de plus en plus denses dans certaines régions fixes et délimitées à mesure que leur nombre augmente. Ces types d'asymptotiques sont appelés asymptotiques à domaine fixe (Stein, 1999) ou asymptotiques intercalaires (Cressie, 1993). Les asymptotiques intercalaires, où davantage de données sont collectées par échantillonnage plus dense dans un domaine fixe, joueront un rôle clé en nous aidant à développer un argument pour ...

Impuissant à noter, j'échantillonne mes observations en utilisant l'échantillonnage d'hypercube latin.

Voici ce que le livre de Cressie a à dire sur les asymptotiques de remplissage.

asymptotics definition
la source

La section 5.8, Infill Asymptotics , de la première édition (1991) du livre de Cressie est claire. Bien qu'il ne fournisse pas de définition en notation mathématique, un exemple (d'asymptotique "plus délicat que de remplissage") est explicitement donné deux pages plus tard en utilisant la notation mathématique. Pourriez-vous peut-être citer la description de votre propre article des «asymptotiques de remplissage»?

whuber

@whuber J'ai ajouté le devis à la question d'origine

Je vous remercie. Cette citation ne semble pas suffisamment précise. Comment procédez-vous exactement pour échantillonner le domaine fixe? Un exemple (proposé par Cressie) est que vous échantillonnez un point puis, pour toujours après, échantillonnez dans un cluster autour d'un point différent. Cela aurait probablement un comportement asymptotique différent de l'échantillonnage avec un processus de Poisson homogène, par exemple.

whuber

@whuber J'utilise des exemples d'hypercube latins.

Veuillez inclure ces informations dans votre question, car elles sont cruciales pour la réponse.

whuber

Réponses:

La définition des asymptotiques de remplissage n'est pas particulièrement utile (techniquement, si le domaine reste fixe et la taille de l'échantillon augmente, c'est asymptotique de remplissage. Mais considérons le cas où vous échantillonnez sur un transect de 0 à 1, en prenant un échantillon dans 0,1 / 2, un autre échantillon en 1 / 2,3 / 4, un autre dans l'intervalle 3/4, 7/8, etc. Vous pourrez en dire beaucoup sur les valeurs à 1, mais vous ne pourrez pas en dire beaucoup autre.)

$\epsilon$ $\epsilon>0$ $n\rightarrow\infty$

Parfois, le remplissage n'est pas donné explicitement, seul un design est donné. Par exemple, dans l'article de Lahiri (On Inconsistency of Estimators Based on Spatial Data under Infill Asymptotics), il décrit une conception qui est essentiellement une grille `` gigue '' (une certaine aléatoire comme le petit niveau, mais généralement basée sur un échantillonnage dans un hyper rectangulaire sous-régions) qui est asymptotiquement dense dans le domaine fixe. Il obtient le résultat (courant pour les problèmes de remplissage) que la plupart des paramètres du variogramme sont estimés de manière incohérente.

Lahiri, Lee et Cressie. un échantillon dense.

(Le résultat général pour les échantillons denses est que, puisque les asymptotiques de remplissage sont vraiment une réalisation unique d'un processus spatial, le seul paramètre du variogramme vrai (superpopulation) qui peut être estimé de manière cohérente est la pente à zéro, mais les prévisions sont de plus en plus bonnes. )

AlaskaRon
la source

Savez-vous comment prouver cette affirmation? "pour toutes les sous-régions de la zone ϵ, pour tout ϵ> 0, la probabilité qu'un échantillon se produise dans la sous-région approche 1 comme n → ∞. Un tel échantillon est dense dans le domaine."

ϵ

$\epsilon$

Connaissez-vous des articles qui disent que les hypercubes latins sont asymptotiquement denses?

Commençons par une définition de l'échantillonnage de l'hypercube latin, juste pour clarifier les choses et établir une notation. Ensuite, nous pouvons définir des asymptotiques de remplissage.

LHS

$\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$ $N \ge 1$ $\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$ $N^d$

c_{N} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{d}) = [l_{1} + i_{1} δ_{1} (N), l_{1} + (i_{1} + 1) δ_{1} (N)) \times \dots [l_{d} + i_{d} δ_{d} (N), l_{d} + (i_{d} + 1) δ_{d} (N)),

$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$

$0 \le i_j \lt N$ $j$

$N$ $S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

{i_{j}^{1}, i_{j}^{2}, \dots, i_{j}^{N}} = {1, 2, \dots, N}, j = 1, 2, \dots, d .

$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$

$d$ $2$ $N$ $S$ $N$

X (N) = {(Z_{1}^{N}, Y_{1}^{N}), \dots, (Z_{N}^{N}, Y_{N}^{N})}

$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$ des valeurs (emplacement, observation).

Remplissage asymptotique

$t_N$ $X(N)$ $N$ $\mathcal{B}$ $t_N(X(N))$ $N$

t_{1} (X (1)), t_{2} (X (2)), \dots, t_{N} (X (N)), \dots

$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$

$N$

whuber
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