Prélèvement d'échantillons à partir d'une distribution normale multivariée soumise à des contraintes quadratiques

Je voudrais dessiner efficacement des échantillons partir de sous la contrainte que .$x \in \mathbb{R}^d$$\mathcal{N}(\mu, \Sigma)$$||x||_2 = 1$

La résolution formelle de ce problème nécessite d'abord une définition correcte d'un

" $\mathcal{N}_d(μ,Σ)$ distribution soumise à la contrainte que $||x||^2=1$ "

La manière naturelle est de définir la distribution de conditionnellement à . Et pour appliquer cette condition au cas . Si nous utilisons des coordonnées polaires , le jacobien de la transformation est Donc la densité conditionnelle de la distribution de$X\sim\mathcal{N}_d(μ,Σ)$$||X||=\varrho$$\varrho=1$

$$\eqalign{ x_1&=\varrho\cos(\theta_1)\qquad&\theta_1\in[0,\pi]\\ x_2&=\varrho\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)\qquad&\theta_2\in[0,\pi]\\ &\vdots\\ x_{d-1}&=\varrho \left( \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i) \right) \cos(\theta_{d-1})\qquad&\theta_{d-1}\in[0,2\pi]\\ x_{d}&=\varrho\prod_{i=1}^{d-1}\sin(\theta_i) }$$ $$\varrho^{d-1}\prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$ $\mathbf{\theta}=(\theta_1,\ldots,\theta_{d-1})$ étant donné que est $\varrho$ $$f(\mathbf{\theta}|\varrho) \propto \exp\frac{-1}{2}\left\{(x(\theta,\varrho)-\mu)^T\Sigma^{-1}(x(\theta,\varrho)-\mu) \right\} \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$

Conclusion: Cette densité diffère de l'application simple de la densité normale à un point sur la sphère unitaire en raison du jacobien.

La deuxième étape consiste à considérer la densité cible et concevoir un algorithme de Monte Carlo à chaîne de Markov pour explorer l'espace des paramètres . Ma première tentative serait un échantillonneur Gibbs, initialisé au point sur la sphère la plus proche de , c'est-à-dire, et en procédant un angle à la fois d'une manière Metropolis-within-Gibbs:

$$f(\mathbf{\theta}|\varrho=1) \propto \exp\frac{-1}{2}\left\{(x(\theta,1)-\mu)^T\Sigma^{-1}(x(\theta,1)-\mu) \right\} \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$ $[0,\pi]^{d-2}\times[0,2\pi]$$\mu$$\mu/||\mu||$

1. Générer (où les sommes sont calculées modulo ) et acceptez cette nouvelle valeur avec probabilité else$\theta_1^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_1^{(t)}-\delta_1,\theta_1^{(t)}+\delta_1])$$\pi$ $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t)},...|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t)},\theta_2^{(t)},...|\varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_1^{(t+1)}=\theta_1^{(t)}$
2. Générer (où les sommes sont calculées modulo ) et acceptez cette nouvelle valeur avec probabilité else$\theta_2^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_2^{(t)}-\delta_2,\theta_2^{(t)}+\delta_2])$$\pi$ $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},\theta_3^{(t)},...|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t)},\theta_3^{(t)},...|\varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_2^{(t+1)}=\theta_2^{(t)}$
3. $\ldots$
4. Générez (où les sommes sont calculées modulo ) et acceptez cette nouvelle valeur avec probabilité else$\theta_{d-1}^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_{d-1}^{(t)}-\delta_{d-1},\theta_{d-1}^{(t)}+\delta_{d-1}])$$2\pi$ $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},...,\theta_{d-1}^{(t+1)}|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},...,\theta_{d-1}^{(t)}| \varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_{d-1}^{(t+1)}=\theta_{d-1}^{(t)}$

Les échelles , , , peuvent être ajustées en fonction des taux d'acceptation des étapes, vers un objectif idéal de .$\delta_1$$\delta_2$$\ldots$$\delta_{d-1}$$50\%$

Voici un code R pour illustrer ce qui précède, avec des valeurs par défaut pour et :$\mu$$\Sigma$

library(mvtnorm)
d=4
target=function(the,mu=1:d,sigma=diag(1/(1:d))){
 carte=cos(the[1])
 for (i in 2:(d-1))
  carte=c(carte,prod(sin(the[1:(i-1)]))*cos(the[i]))
 carte=c(carte,prod(sin(the[1:(d-1)])))
 prod(sin(the)^((d-2):0))*dmvnorm(carte,mean=mu,sigma=sigma)}
#Gibbs
T=1e4
#starting point
mu=(1:d)
mup=mu/sqrt(sum(mu^2))
mut=acos(mup[1])
for (i in 2:(d-1))
  mut=c(mut,acos(mup[i]/prod(sin(mut))))
thes=matrix(mut,nrow=T,ncol=d-1,byrow=TRUE)
delta=rep(pi/2,d-1)     #scale
past=target(thes[1,])   #current target
for (t in 2:T){
 thes[t,]=thes[t-1,]
 for (j in 1:(d-1)){
   prop=thes[t,]
   prop[j]=prop[j]+runif(1,-delta[j],delta[j])
   prop[j]=prop[j]%%(2*pi-(j<d-1)*pi)
   prof=target(prop)
   if (runif(1)<prof/past){
     past=prof;thes[t,]=prop}
   }
}

$||x||_2^2=1$ n'est pas strictement possible car est une variable aléatoire (continue). Si vous souhaitez qu'il ait une variance de 1, c'est-à-dire (où le tilde signifie que nous estimons la variance), vous devrez alors exiger que sa variance soit . Cependant, cette demande peut entrer en conflit avec . Autrement dit, pour obtenir des échantillons avec cette variance, vous avez besoin que la diagonale de soit égale à .$x$$E[(x-\mu)^2]\tilde{=} \frac{1}{n}\sum (x-\mu)^2=\frac{1}{n} ||x-n||_2^2=\frac{1}{n}$$\frac{1}{n}$$\Sigma$$\Sigma$$\frac{1}{n}$

Pour échantillonner cette distribution en général, vous pouvez générer des normales standard iid, puis multiplier par , la racine carrée de , puis ajouter les moyennes .$\Sigma^{0.5}$$\Sigma$$\mu$