Prouver / réfuter

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Prouver / réfuter E[1A|Ft]=0 or 1 a.s. E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.


Etant donné un espace de probabilité filtré , et encore A F .(Ω,F,{Fn}nN,P)AF

Supposons que S'ensuit-il que E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A | F t ] comme s > t ? Et s < t ?

tN s.t. E[1A|Ft]=1 a.s.
E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s. s>t ?
s<t

Et si à la place Ou si E [ 1 A | F t ] = p a.s. pour certains p ( 0 , 1 ) ?

tN s.t. E[1A|Ft]=0 a.s. ?
E[1A|Ft]=p a.s. for some p(0,1) ?

Ce que j'ai essayé:


E[1A|Ft]=1E[1A]=11A=1E[1A|Fs]=1s

E[1A|Ft]=0E[1A]=01A=0E[1A|Fs]=0s

E[1A|Ft]=pp(0,1)

E[1A|Fs]=E[E[1A|Ft]|Fs]=E[p|Fs]=ps>t

=p

FFt

E[1AF]=E[E[1AF|Ft]]=E[FE[1A|Ft]]

=E[pF]=pE[F]=E[1A]E[F]

1AFσ(A)Ftσ(A)Fss<tE[1A|Fs]=E[1A]=ps>t

FsFs

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Réponses:

5

E[1A|Ft]=1E[1A|Ft]{0,1}E[1A|Ft]{0,1}E[1A|Ft]=1BBFtF1BdP=F1AdPFFtF=BP(B)=P(AB)BAE[E[1A|Ft]]=E[1B]P(A)=P(B)A=B

s>tFtFsE[1A|Ft]=E[E[1A|Ft]|Fs]E[1A|Ft]=1AE[1A|Fs]=1As>t1As<tAFsE[1A|Fs]=1AAFsE[1A|Fs]A={ω2}F2F1E[1A|F0]=181ΩE[1A|F1]=121{ω1,ω2}E[1A|F2]=1{ω2}E[1A|F3]=1{ω2}

S. Catterall réintègre Monica
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P(B)=P(AB)BAE[1A|Ft]=1A
1
AF00
@ocramz et S. Catterall, édition terminée. Comment est-ce pls? ^ - ^
BCLC
1
AωiAA0
1
P(B)=P(AB)BABAcBP(AcB)=0BAP(A)=P(B)A=BFt