Prouver / réfuter E[1A|Ft]=0 or 1 a.s. ⇒E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.
Etant donné un espace de probabilité filtré , et encore A ∈ F .(Ω,F,{Fn}n∈N,P)A∈F
Supposons que S'ensuit-il que E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A | F t ] comme ∀ s > t ? Et ∀ s < t ?
∃t∈N s.t. E[1A|Ft]=1 a.s.
E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s. ∀s>t ?
∀s<t
Et si à la place Ou si E [ 1 A | F t ] = p a.s. pour certains p ∈ ( 0 , 1 ) ?
∃t∈N s.t. E[1A|Ft]=0 a.s. ?
E[1A|Ft]=p a.s. for some p∈(0,1) ?
Ce que j'ai essayé:
E[1A|Ft]=1E[1A]=11A=1E[1A|Fs]=1s
E[1A|Ft]=0E[1A]=01A=0E[1A|Fs]=0s
E[1A|Ft]=pp∈(0,1)
E[1A|Fs]=E[E[1A|Ft]|Fs]=E[p|Fs]=ps>t
=p
FFt
E[1A⋅F]=E[E[1A⋅F|Ft]]=E[F⋅E[1A|Ft]]
=E[p⋅F]=pE[F]=E[1A]⋅E[F]
1AFσ(A)Ftσ(A)Fss<tE[1A|Fs]=E[1A]=ps>t
FsFs