Méthode du deuxième moment, mouvement brownien?

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Soit Bt un mouvement brownien standard. Soit Ej,n désigne l'événement

{Bt=0 for some j12ntj2n},
et soit
Kn=j=2n+122n1Ej,n,
1désigne la fonction d'indicateur. Existe-t-ilρ>0tel que pourP{Knρ2n}ρpour toutn? Je soupçonne que la réponse est oui; J'ai essayé de déconner avec la méthode du deuxième moment, mais sans grand succès. Peut-on le montrer avec la méthode du second moment? Ou devrais-je essayer autre chose?
Étudiant
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Premièrement, si votre somme n'est pas: car votre événement indique que le taux de croissance de K n est de 2 n , on peut donc s'attendre à ce que votre somme ait 2 n + 1 termes , non?
Kn=j=2n+12n+1
Kn2n2n+1
Grant Izmirlian

Réponses:

1

Pas la réponse, mais une reformulation peut-être utile

Je suppose que le commentaire ci-dessus est juste (c'est-à-dire que la somme a termes n + 1 ).2n+1

Notons Observons que p n ( ρ 1 ) > p n ( ρ 2 ) si ρ 1 < ρ 2

pn(ρ)=P(Kn>ρ2n)=P(Kn/2n>ρ)
pn(ρ1)>pn(ρ2)ρ1<ρ2

Premier point: si vous demandez si un tel existe pour tout n, vous devez montrer que pour certains δ la limite est positive lim n p n ( δ ) > 0 alors, si p n ( δ ) a une limite positive et tout les valeurs sont positives, il faut les séparer de zéro, disons p n ( δ ) > ε . Alors p n ( min ( ε , δ ) ) p n (ρδ

limnpn(δ)>0
pn(δ)pn(δ)>ε donc vous avez la propriété souhaitée pour ρ = min ( ε , δ ) .
pn(min(ε,δ))pn(δ)>εmin(ε,δ)
ρ=min(ε,δ)

Il suffit donc de montrer que la limite de est positive.pn

J'examinerais ensuite la variable et sa valeur attendueKn/2n

krzmip
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