Réduire de moitié une variable aléatoire discrète?

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Soit une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans . Je voudrais diviser par deux cette variable, c'est-à-dire trouver une variable aléatoire telle que: $X$ $\mathbb{N}$ $Y$

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

où $Y^*$ est une copie indépendante de $Y$ .

Je parle de ce processus comme de la réduction de moitié ; il s'agit d'une terminologie inventée. Existe-t-il un terme approprié dans la littérature pour cette opération?
Il me semble qu'un tel $Y$ n'existe toujours que si nous acceptons des probabilités négatives. Ai-je raison dans mon observation?
Existe-t-il une notion de meilleur ajustement positif pour $Y$ ? Aka la variable aléatoire qui serait la "plus proche" pour résoudre l'équation ci-dessus.

Merci!

random-variable Joannes Vermorel
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Dans les cas où vous ne pouvez pas "diviser par deux" exactement, il existe plusieurs définitions possibles de "plus proche"; cela dépend de ce que vous souhaitez optimiser.

Glen_b -Reinstate Monica

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Une notion fortement liée à cette propriété (si elle est plus faible) est la décomposabilité . Une loi décomposable est une distribution de probabilité qui peut être représentée comme la distribution d'une somme de deux (ou plus) variables aléatoires indépendantes non triviales. (Et une loi indécomposable ne peut pas être écrite de cette façon. Le "ou plus" est définitivement hors de propos.) Une condition nécessaire et suffisante pour la décomposabilité est que la fonction caractéristique est le produit de deux (ou plus) fonctions caractéristiques.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Je ne sais pas si la propriété que vous considérez a déjà un nom dans la théorie des probabilités, peut-être liée à une divisibilité infinie . Ce qui est une propriété beaucoup plus forte de , mais qui inclut cette propriété: tous les RV divisibles à l'infini satisfont cette décomposition. $X$

Une condition nécessaire et suffisante pour cette "divisibilité primaire" est que la racine de la fonction caractéristique soit à nouveau une fonction caractéristique.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Dans le cas des distributions avec support entier, c'est rarement le cas puisque la fonction caractéristique est un polynôme dans . Par exemple, une variable aléatoire de Bernoulli n'est pas décomposable. $\exp\{it\}$

Comme indiqué dans la page Wikipedia sur la décomposabilité , il existe également des distributions absolument continues qui ne sont pas décomposables, comme celle de densité

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

Dans le cas où la fonction caractéristique de est à valeur réelle, le théorème de Polya peut être utilisé: $X$

Théorème de Pólya. Si φ est une fonction continue réelle, paire, qui satisfait aux conditions
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
alors φ est la fonction caractéristique d'une distribution symétrique absolument continue.

En effet, dans ce cas, est de nouveau à valeur réelle. Par conséquent, une condition suffisante pour que soit divisible primaire est que φ soit convexe racine. Mais il ne s'applique qu'aux distributions symétriques et est donc beaucoup plus limité que le théorème de Böchner par exemple. $\varphi^{1/2}$ $X$

Xi'an
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Il y a des cas spéciaux où cela est vrai, mais pour une variable aléatoire discrète arbitraire , votre "réduction de moitié" n'est pas possible.

La somme de deux variables aléatoires binomiales indépendantes est une variable aléatoire binomiale , et donc un binôme peut être "divisé par deux". Exercice: déterminez si une variable aléatoire binomiale peut être "divisée par deux". $(n,p)$ $(2n,p)$ $(2n,p)$
$(2n+1,p)$
De même, une variable aléatoire binomiale négative peut être "divisée par deux". $(2n,p)$
La somme de deux variables aléatoires de Poisson indépendantes est un Poisson ; à l'inverse, une variable aléatoire Poisson est la somme de deux variables aléatoires Poisson indépendantes. En effet, comme le souligne @ Xi'an dans un commentaire, une variable aléatoire Poisson peut être "divisée par deux" autant de fois que nous le souhaitons: pour chaque entier positif , c'est la somme de Poisson indépendant variables aléatoires . $(\lambda)$ $(2\lambda)$ $(\lambda)$ $(\frac{\lambda}{2})$ $(\lambda)$ $n$ $2^n$ $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$

Dilip Sarwate
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+1 Si je me souviens bien, l'uniforme discret est un cas particulier où ce n'est pas possible (je pense qu'il y en a beaucoup d'autres, mais c'est celui que j'ai examiné).

Glen_b -Reinstate Monica

En effet, une distribution uniforme est décomposable mais non divisible au sens ci-dessus.

Xi'an

2

La distribution de Poisson est un exemple de distribution infiniment divisible, elle peut donc être divisée en une somme d'un nombre arbitraire de variables iid.

Xi'an

-1

Le problème me semble que vous demandez une "copie indépendante", sinon vous pourriez simplement multiplier avec ? Au lieu d'écrire une copie (une copie est toujours dépendante), vous devriez peut-être écrire "deux variables aléatoires indépendantes, mais distribuées de manière identique". $\frac{1}{2}$

Pour répondre à tes questions,

ce qui se rapproche le plus est peut-être le terme convolution. Pour donné , vous recherchez deux RV IID avec convolution . $X$ $X$
si vous acceptez des probabilités négatives, ce ne sont plus des variables aléatoires, car il n'y a plus d'espace de probabilité. Il y a des cas où vous pouvez trouver ces ( -Poisson-distribué, , -Poisson-distribué), et des cas où ce n'est pas possible ( Bernoulli, par exemple). $Y,Y^*$ $X$ $\lambda$ $Y$ $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ $X$
je n'en ai pas vu, et je ne peux pas imaginer comment formaliser un meilleur ajustement. Habituellement, les approximations des variables aléatoires sont mesurées par une norme sur l'espace des variables aléatoires. Je ne peux pas penser à des approximations de variables aléatoires par ou à des variables non aléatoires.

J'espère que je pourrais aider.

mattd
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