Les variables aléatoires et dépendantes?

Peut-on dire quelque chose sur la dépendance d'une variable aléatoire et d'une fonction d'une variable aléatoire? Par exemple, dépend-il de ?$X^2$$X$

Voici une preuve du commentaire de @ cardinal avec une petite torsion. Si $X$ et $f(X)$ sont indépendants alors

$$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$$ Prendre$A = f^{-1}(B)$donne l'équation $$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$$ qui a les deux solutions 0 et 1. Ainsi$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$ pour tous$B$ . En général, il n'est pas possible d'en dire plus. Si$X$ et$f(X)$ sont indépendants, alors$f(X)$ est une variable telle que pour tout$B$ il est soit en$B$ soit en$B^c$ avec la probabilité 1. Pour en dire plus, il faut plus d'hypothèses, par exemple que singleton fixe$\{b\}$ sont mesurables.

Cependant, les détails au niveau théorique de la mesure ne semblent pas être la principale préoccupation du PO. Si X est réel et f est une fonction réelle (et nous utilisons l' algèbre Borel σ , disons), alors en prenant B = ( - ∞ , b ], il s'ensuit que la fonction de distribution pour la distribution de f ( X ) ne prend que la valeurs 0 et 1, donc il y a un b auquel il passe de 0 à 1 et P ( f ( X ) = b ) = $X$$f$$\sigma$$B = (-\infty, b]$$f(X)$$b$$0$$1$$P(f(X) = b) = 1$.

En fin de compte, la réponse à la question des PO est que X et f ( X ) sont généralement dépendants et indépendants uniquement dans des circonstances très particulières. De plus, la mesure de Dirac δ f ( x ) se qualifie toujours pour une distribution conditionnelle de f ( X ) donnée X = x , ce qui est une façon formelle de dire que connaissant X = x alors vous savez aussi exactement ce que f ( X $X$$f(X)$$\delta_{f(x)}$$f(X)$$X = x$$X = x$$f(X)$est. Cette forme spéciale de dépendance à distribution conditionnelle dégénérée est caractéristique des fonctions de variables aléatoires.

Lemme : Soit X une variable aléatoire et f une fonction (mesurable Borel) telle que X et f ( X ) sont indépendants. Alors f ( X ) est constant presque sûrement. Autrement dit, il y a un certain un ∈ R tel que P ( f ( X ) = a ) = 1 .$X$$f$$X$$f(X)$$f(X)$$a \in \mathbb R$$\mathbb P(f(X) = a) = 1$

La preuve est ci-dessous; mais, d'abord, quelques remarques. La mesurabilité Borel n'est qu'une condition technique pour garantir que nous pouvons attribuer des probabilités de manière raisonnable et cohérente. La déclaration "presque sûrement" n'est aussi qu'une technicité.

L'essence du lemme est que si nous voulons que X et f ( X ) soient indépendants, alors nos seuls candidats sont des fonctions de la forme f ( x ) = a .$X$$f(X)$$f(x) = a$

Comparez cela au cas des fonctions f telles que X et f ( X ) ne sont pas corrélées . C'est une condition beaucoup, beaucoup plus faible. En effet, considérons toute variable aléatoire X avec un zéro moyen, un troisième moment absolu fini et symétrique par rapport à zéro. Prenez f ( x ) = x 2 , comme dans l'exemple de la question. Alors C o v ( X , f ( X ) ) = E X f $f$$X$$f(X)$$X$$f(x) = x^2$X ) = E X 3 = 0 , donc X et f ( X ) = X 2 ne sont pas corrélés.$\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$$X$$f(X) = X^2$

Ci-dessous, je donne la preuve la plus simple que j'ai pu trouver pour le lemme. Je l' ai fait très bavard pour que tous les détails sont aussi évidentes que possible. Si quelqu'un voit des moyens de l'améliorer ou de le simplifier, j'aimerais le savoir.

Idée de preuve : Intuitivement, si nous connaissons X , alors nous connaissons f ( X ) . Nous devons donc trouver un événement dans σ ( X ) , l'algèbre sigma générée par X , qui relie notre connaissance de X à celle de f ( X ) . Ensuite, nous utilisons ces informations conjointement avec l'indépendance supposée de X et f ( X ) pour montrer que nos choix disponibles pour f ont été sévèrement limités.$X$$f(X)$$\sigma(X)$$X$$X$$f(X)$$X$$f(X)$$f$

Proof of lemma: Recall that $X$ and $Y$ are independent if and only if for all $A \in \sigma(X)$ and $B \in \sigma(Y)$, $\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$. Let $Y = f(X)$ for some Borel measurable function $f$ such that $X$ and $Y$ are independent. Define $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$. Then,

$$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$$ and since $(-\infty,y]$ is a Borel set and $f$ is Borel-measurable, then $f^{-1}((-\infty,y])$ is also a Borel set. This implies that $A(y) \in \sigma(X)$ (by definition(!) of $\sigma(X)$).

Since $X$ and $Y$ are assumed independent and $A(y) \in \sigma(X)$, then

$$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ and this holds for all $y \in \mathbb R$. But, by definition of $A(y)$ $$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$$ Combining these last two, we get that for every $y \in \mathbb R$, $$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ so $\Pr(f(X) \leq y) = 0$ or $\Pr(f(X) \leq y) = 1$. This means there must be some constant $a \in \mathbb R$ such that the distribution function of $f(X)$ jumps from zero to one at $a$. In other words, $f(X) = a$ almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if $f(X) = a$ almost surely, then $X$ and $f(X)$ are independent.