Régression sans interception: dériver

Dans An Introduction to Statistical Learning (James et al.), À la section 3.7, exercice 5, il est indiqué que la formule$\hat{\beta}_1$en supposant une régression linéaire sans interception est

$$\hat{\beta}_1 = \dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i}{\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2}\text{,}$$ où $\hat{\beta}_0 = \bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$ et $\hat{\beta}_1 = \dfrac{\displaystyle S_{xy}}{S_{xx}}$ sont les estimations habituelles sous OLS pour une régression linéaire simple ($S_{xy} = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$).

Ce n'est pas l'exercice proprement dit ; Je me demande simplement comment dériver l'équation. Sans utiliser l'algèbre matricielle , comment puis-je la dériver?

Ma tentative: avec $\hat{\beta}_0 = 0$, on a $\hat{\beta}_1 = \dfrac{\bar{y}}{\bar{x}} = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$.

Après une algèbre, on peut montrer que $\displaystyle S_{xy} = \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}\bar{y}$ et $\displaystyle S_{xx} = \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2$. De là, je suis coincé.

Ceci est simple à partir de la définition des moindres carrés ordinaires. S'il n'y a pas d'interception, on minimise . C'est lisse en fonction de , donc tous les minima (ou maxima) se produisent lorsque la dérivée est nulle. En différenciant par rapport à nous obtenons . La résolution de donne la formule.$R(\beta) = \sum_{i=1}^{i=n} (y_i- \beta x_i)^2$$\beta$$\beta$$-\sum_{i=1}^{i=n} 2(y_i- \beta x_i)x_i$$\beta$