Je suis en train d'apprendre par moi-même sur la théorie des modèles linéaires, et une chose que je trouve surprenante est que bien que soit défini pour un vecteur aléatoire , il n'y a aucune mention d'autres moments en dehors de la matrice de covariance.
La recherche Google n'a pas beaucoup tourné. Les èmes moments (bruts) de compte, ou y a-t-il une idée différente que je ne connais pas?
J'apprends du texte Réponses planes aux questions complexes (la table des matières commence à la p. 17 du fichier lié). Par «considéré», ce que je veux dire, c'est qu'il existe une chose telle que , et si oui, comment définirait-on un tel concept? Le livre que j'ai ne couvre que le premier moment brut, et je trouve un peu étrange qu'il n'y ait aucune mention de la façon de définir compte tenu de mon expérience en univarié probabilité, et je n'ai pas l'expertise pour le définir.
De plus, si n'est pas défini, y a-t-il peut-être un concept connexe que je ne connais pas qui est utilisé à la place?
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Réponses:
L'analogue approprié des moments univariés dans un paramètre multivarié est de visualiser également l'exposant comme un vecteur. La notation exponentielle avec des bases vectorielles et des exposants vectoriels est un raccourci pour le produit,k=(k1,k2,…,kn)
Pour un tel vecteur , le moment (brut) de la variable aléatoire est défini comme étantk kth Y
Pour motiver une telle définition, considérons un moment univarié d'une fonction linéaire de :Y
où la somme se produit sur tous les dont les composants sont des nombres entiers non négatifs sommant à et sont les coefficients multinomiaux. L'apparition des moments multivariés sur le côté droit montre pourquoi ce sont des généralisations naturelles et importantes des moments univariés.k m (mk)=m!/(k1!k2!⋯kn!)
Celles-ci apparaissent tout le temps. Par exemple, la covariance entre et n'est autre queYi Yj
où et sont les vecteurs indicateurs avec des zéros à tous les endroits sauf un et un à l'emplacement indiqué. (La même formule donne élégamment la variance de lorsque .)ki kj Yi i=j
Il existe des généralisations naturelles de tous les concepts de moment univariés dans le cadre multivarié: une fonction de génération de moment, des cumulants, une fonction de génération de cumulant, des moments centraux, une fonction caractéristique et des relations algébriques et analytiques entre elles.
Référence
Alan Stuart et J. Keith Ord, Kendall's Advanced Theory of Statistics , cinquième édition. Oxford University Press, 1987: Volume I, Chapitre 3, Moments and Cumulants.
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En plus des points de @ whuber
1) Je ne sais pas ce qu'implique la théorie des modèles linéaires, mais rappelez-vous que dans les modèles linéaires, nous avons généralement affaire à des variables aléatoires normales qui ont 0 asymétrie et 0 kurtosis.
2) Plus généralement, la question est de la forme "Quelle est la précision?". Si je veux décrire des échantillons d'IID, je pourrais dire que je ne veux que la moyenne. Sinon, je pourrais dire que je veux la moyenne et les erreurs dans les moyens. Une alternative encore plus détaillée serait les moyens, les erreurs dans les moyens et les erreurs dans les moyens. À partir de ce modèle, vous pouvez voir comment les moments supérieurs continuent de monter. Il n'y a pas de vraie solution à ce problème, donc les gens s'arrêtent généralement au niveau 2 (c.-à-d. Moyenne et variance). Cela ne veut pas dire que les moments supérieurs sont inutiles. En fait, pour les problèmes impliquant des distributions à queue grasse, ces problèmes deviennent pertinents
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