Visualisation de l'ACP dans R: points de données, vecteurs propres, projections, ellipse de confiance

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J'ai un ensemble de données de 17 personnes, classant 77 déclarations. Je veux extraire les principaux composants sur une matrice de corrélation transposée de corrélations entre les personnes (en tant que variables) à travers les déclarations (en tant que cas). Je sais, il est étrange, on l'appelle Q Méthodologie .

Je veux illustrer le fonctionnement de l'ACP dans ce contexte, en extrayant et en visualisant des valeurs / vecteurs propres pour seulement une paire de données. (Parce que peu de personnes dans ma discipline obtiennent l' APC, sans parler de son application à Q, moi y compris).

Je veux la visualisation de ce fantastique tutoriel , uniquement pour mes données réelles .

Grande visualisation

Que ce soit un sous-ensemble de mes données:

Person1 <- c(-3,1,1,-3,0,-1,-1,0,-1,-1,3,4,5,-2,1,2,-2,-1,1,-2,1,-3,4,-6,1,-3,-4,3,3,-5,0,3,0,-3,1,-2,-1,0,-3,3,-4,-4,-7,-5,-2,-2,-1,1,1,2,0,0,2,-2,4,2,1,2,2,7,0,3,2,5,2,6,0,4,0,-2,-1,2,0,-1,-2,-4,-1)
Person2 <- c(-4,-3,4,-5,-1,-1,-2,2,1,0,3,2,3,-4,2,-1,2,-1,4,-2,6,-2,-1,-2,-1,-1,-3,5,2,-1,3,3,1,-3,1,3,-3,2,-2,4,-4,-6,-4,-7,0,-3,1,-2,0,2,-5,2,-2,-1,4,1,1,0,1,5,1,0,1,1,0,2,0,7,-2,3,-1,-2,-3,0,0,0,0)
df <- data.frame(cbind(Person1, Person2))
g <- ggplot(data = df, mapping = aes(x = Person1, y = Person2))
g <- g + geom_point(alpha = 1/3)  # alpha b/c of overplotting
g <- g + geom_smooth(method = "lm")  # just for comparison
g <- g + coord_fixed()  # otherwise, the angles of vectors are off
g

corrplot pour mes données

Notez que, par mesure, ces données:

  • ... a une moyenne de zéro,
  • ... est parfaitement symétrique,
  • ... et est également mis à l'échelle sur les deux variables (il ne devrait pas y avoir de différence entre la matrice de corrélation et de covariance)

Maintenant, je veux combiner les deux graphiques ci-dessus .

corre <- cor(x = df$Person1, y = df$Person2, method = "spearman")  # calculate correlation, must be spearman b/c of measurement
matrix <- matrix(c(1, corre, corre, 1), nrow = 2)  # make this into a matrix
eigen <- eigen(matrix)  # calculate eigenvectors and values
eigen

donne

> $values
> [1] 1.6 0.4
>
> $vectors
>     [,1]  [,2]
> [1,] 0.71 -0.71
> [2,] 0.71  0.71
>
> $vectors.scaled
>     [,1]  [,2]
> [1,]  0.9 -0.45
> [2,]  0.9  0.45

et, en passant

g <- g + stat_ellipse(type = "norm")
  # add ellipse, though I am not sure which is the adequate type
  # as per https://github.com/hadley/ggplot2/blob/master/R/stat-ellipse.R
eigen$slopes[1] <- eigen$vectors[1,1]/eigen$vectors[2,1]  # calc slopes as ratios
eigen$slopes[2] <- eigen$vectors[1,1]/eigen$vectors[1,2]  # calc slopes as ratios
g <- g + geom_abline(intercept = 0, slope = eigen$slopes[1], colour = "green")  # plot pc1
g <- g + geom_abline(intercept = 0, slope = eigen$slopes[2], colour = "red")  # plot pc2
g <- g + geom_segment(x = 0, y = 0, xend = eigen$values[1], yend = eigen$slopes[1] * eigen$values[1], colour = "green", arrow = arrow(length = unit(0.2, "cm")))  # add arrow for pc1
g <- g + geom_segment(x = 0, y = 0, xend = eigen$values[2], yend = eigen$slopes[2] * eigen$values[2], colour = "red", arrow = arrow(length = unit(0.2, "cm")))  # add arrow for pc2
# Here come the perpendiculars, from StackExchange answer /programming/30398908/how-to-drop-a-perpendicular-line-from-each-point-in-a-scatterplot-to-an-eigenv ===
perp.segment.coord <- function(x0, y0, a=0,b=1){
#finds endpoint for a perpendicular segment from the point (x0,y0) to the line
# defined by lm.mod as y=a+b*x
  x1 <- (x0+b*y0-a*b)/(1+b^2)
  y1 <- a + b*x1
  list(x0=x0, y0=y0, x1=x1, y1=y1)
}
ss <- perp.segment.coord(df$Person1, df$Person2, 0, eigen$slopes[1])
g <- g + geom_segment(data=as.data.frame(ss), aes(x = x0, y = y0, xend = x1, yend = y1), colour = "green", linetype = "dotted")
g

Parcelle finale

Ce graphique illustre-t-il adéquatement l'extraction des vecteurs propres / valeurs propres dans l'ACP?

  • Je ne sais pas ce que seraient des ellipses adéquates et / ou la longueur des vecteurs (ou cela n'a-t-il pas d'importance?)
  • Je suppose que les vecteurs ont une pente de 1, -1est à cause de mes données (classement? Symétrie?), Et serait différent pour d'autres données.

Ps.: Cela est basé sur le tutoriel ci-dessus et cette question CrossValidated .

Pps.: Les perpendiculaires tombées sur le vecteur sont une gracieuseté de cette réponse StackExchange

maxheld
la source
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Ne modifiez pas vos vecteurs propres; puis redessinez l'intrigue. Je pense que vous verrez alors immédiatement où vous avez fait une erreur.
whuber
merci @whuber, corrigé. J'avais besoin de prendre le rapport des deux vecteurs propres. Est-ce que ça a l'air mieux maintenant? D'autres suggestions? (Je suppose que les pentes sont exactement -1, 1 est à cause de mes données étranges).
maxheld
3
Lorsqu'il n'y a que deux variables, les vecteurs propres normalisés sont toujours (1/2,±1/2), qui - comme le dit la théorie - sont orthogonaux. Votre erreur est que vous les avez mis à l'échelle de manière incorrecte: vous devriez avoir mis à l'échelle les colonnes plutôt que les lignes.
whuber
@amoeba a accepté, c'est 95% de réponses. Pourriez-vous commenter les deux dernières balles soulevées dans la question? 1) Est - ellipses correct et 2) sont 1, des -1pentes à attendre?
maxheld

Réponses:

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Il n'y a pas grand-chose à répondre ici. Vous semblez avoir eu quelques problèmes avec votre script qui sont maintenant corrigés. Il n'y a actuellement rien de mal à votre visualisation et en fait je la trouve très belle et adéquate.

Pour répondre à vos questions restantes:

  1. Les pentes de vos axes principaux seront toujours 1 et -1pour un ensemble de données bidimensionnel normalisé (c'est-à-dire si vous travaillez avec une matrice de corrélation), comme @whuber l'a dit dans les commentaires. Voir ma réponse ici: une matrice de corrélation de deux variables a-t-elle toujours les mêmes vecteurs propres?

  2. L'ellipse que vous avez tracée (selon ma compréhension du code source de stat_ellipse()) est une ellipse de couverture à 95% en supposant une distribution normale multivariée. C'est un choix raisonnable. Notez que si vous voulez une couverture différente, vous pouvez la changer via levelle paramètre d'entrée, mais 95% est assez standard et correct.

amibe
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