Cette distribution discrète a-t-elle un nom?

Cette distribution discrète a-t-elle un nom? Pour$i \in 1...N$

$f(i) = \frac{1}{N} \sum_{j = i}^N \frac{1}{j}$

Je suis tombé sur cette distribution parmi les éléments suivants: J'ai une liste de éléments classés par une fonction d'utilité. Je souhaite sélectionner au hasard l'un des éléments, en privilégiant le début de la liste. Donc, je choisis d'abord un indice entre 1 et uniformément. Je sélectionne ensuite un élément entre les indices 1 et . Je crois que ce processus aboutit à la distribution ci-dessus.j N $N$$j$$N$$j$

Vous avez une version discrétisée de la distribution log négative, c'est-à-dire la distribution dont le support est et dont le pdf est f ( t ) = - log t .$[0, 1]$$f(t) = - \log t$

Pour voir cela, je vais redéfinir votre variable aléatoire pour prendre des valeurs dans l'ensemble au lieu de { 0 , 1 , 2 , … , N } et appeler le distribution résultante T . Ensuite, ma réclamation est que$\{ 0, 1/N, 2/N, \ldots, 1 \}$$\{0, 1, 2, \ldots, N \}$$T$

$$Pr\left( T = \frac{t}{N} \right) \rightarrow - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

comme tandis que $N, t \rightarrow \infty$ est maintenu (approximativement) constant. $\frac{t}{N}$

Tout d'abord, une petite expérience de simulation démontrant cette convergence. Voici une petite implémentation d'un échantillonneur de votre distribution:

t_sample <- function(N, size) {
  bounds <- sample(1:N, size=size, replace=TRUE)
  samples <- sapply(bounds, function(t) {sample(1:t, size=1)})
  samples / N
}

Voici un histogramme d'un grand échantillon tiré de votre distribution:

ss <- t_sample(100, 200000)
hist(ss, freq=FALSE, breaks=50)

et voici le pdf logarithmique superposé:

linsp <- 1:100 / 100
lines(linsp, -log(linsp))

Pour voir pourquoi cette convergence se produit, commencez par votre expression

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{1}{j}$$

et multiplier et diviser par $N$

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{N}{j} \frac{1}{N}$$

$g(x) = \frac{1}{x}$$\frac{t}{N}$$1$$N$

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^1 \frac{1}{x} dx = - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

qui est l'expression à laquelle je voulais arriver.

Cela semble être lié à la distribution de Whitworth. (Je ne crois pas que ce soit la distribution de Whitworth, car si je me souviens bien, c'est la distribution d'un ensemble de valeurs ordonnées, mais elle semble y être connectée et s'appuie sur le même schéma de sommation.)

Il y a une discussion sur le Whitworth (et de nombreuses références) dans

Anthony Lawrance et Robert Marks, (2008)
«Distribution des tailles d'entreprises dans une industrie aux ressources limitées»,
Applied Economics , vol. 40, numéro 12, pages 1595-1607

(Il semble y avoir une version papier de travail ici )

Regarde aussi

Nancy L Geller, (1979)
Un test de signification pour la distribution de Whitworth,
Journal de l'American Society for Information Science , Vol.30 (4), pp.229-231