La médiane est-elle une propriété «métrique» ou «topologique»?

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Je m'excuse du léger abus de terminologie; J'espère qu'il deviendra clair ce que je veux dire ci-dessous.

Considérons une variable aléatoire . La moyenne et la médiane peuvent toutes deux être caractérisées par un critère d'optimalité: la moyenne est le nombre qui minimise , et la médiane ce nombre qui minimise . Dans cette perspective, la différence entre la moyenne et la médiane est le choix de la «métrique» pour évaluer les écarts, le carré ou la valeur absolue.XμE((X−μ)2)E(|X−μ|)

En revanche, la médiane est le nombre pour lequel (en supposant une continuité absolue), c'est-à-dire que cette définition ne dépend que de la capacité à ordonner des valeurs de et est indépendante de combien ils diffèrent. En conséquence, pour chaque fonction strictement croissante , , ce qui signifie qu'elle est "topologique" au sens de invariance sous transformations "caoutchouteuses".Pr(X≤μ)=12Xf(x)median(f(X))=f(median(X))

Maintenant, j'ai fait le calcul et je sais qu'en partant du critère d'optimalité, je peux arriver au -quantile, donc les deux décrivent la même chose. Mais je suis encore confus, car mon intuition me dit que quelque chose qui dépend d'une "métrique" ne peut pas conduire à une propriété "topologique".12

Quelqu'un peut-il résoudre cette énigme pour moi?

mean median A. Donda
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Joli titre! :-)
Luis Mendo

Réponses:

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Le défaut de votre raisonnement est que quelque chose qui dépend d'une métrique ne peut pas être une propriété topologique.

Prenez la compacité des espaces métriques. Cela peut être défini en termes de métrique: la compacité signifie que l'espace est complet (dépend de la métrique) et totalement borné (dépend de la métrique). Il s'avère cependant que cette propriété est un invariant sous homéomorphisme, et en effet, peut être définie uniquement en termes de topologie (sous-couvertures finies de toute couverture, de la manière habituelle).

Un autre exemple est les diverses théories de l'homologie. Seule l'homologie singulière est véritablement topologique dans sa définition. Tous les autres, simplicial, cellulaires, De Rham (cohomologie, mais accordez-moi un peu de jeu), etc., dépendent d'une structure supplémentaire, mais s'avèrent équivalents (et beaucoup plus faciles à travailler).

Cela revient beaucoup en mathématiques, parfois la façon la plus simple de définir quelque chose est en termes de structure ancillaire, puis il est démontré que l'entité résultante ne dépend en fait pas du tout du choix de la structure ancillaire.

Matthew Drury
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Merci d'avoir répondu! Il semble que vous preniez ma terminologie plus au sérieux que je ne le pensais possible. Je dois admettre que je n'ai que les connaissances les plus élémentaires des espaces topologiques et métriques, donc cela pourrait être une question stupide: je comprends que l'utilisation d'une structure auxiliaire facilite la vie bien qu'elle ne soit pas strictement nécessaire - ok, c'est peut-être le cas ici aussi.
A. Donda
Mais vous dites également que "l'entité résultante ne dépend pas du tout du choix de la structure auxiliaire". Dois-je comprendre correctement que l'on peut utiliser différentes structures auxiliaires pour arriver à la même topologie exacte? Si oui, alors l'analogie se décompose ici, car en utilisant la "métrique carrée" je n'arrive pas à la médiane, mais à la moyenne, qui n'est pas invariante sous les transformations monotones.
A. Donda
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Bon point. Je suppose que ce que je dis, ce n'est pas surprenant quand quelque chose qui peut être défini en termes de structure s'avère être définissable en termes de structure plus faible - et souvent lorsque cela se produit, vous avez trouvé un concept utile! Dans votre cas, vous pouvez définir la médiane en termes d'arithmétique et d'intégration de nombres réels, ce qui est beaucoup de structure, mais en fait, il existe une définition qui échange l'arithmétique pour l'ordre, une structure plus faible. Mes cas étaient à l'extrême extrême, où la structure la plus faible se révèle être presque pas de structure du tout.
Matthew Drury
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Un autre point. On pourrait dire que la raison pour que les transformations monotones préserver la médiane est parce il y a un moyen de les définir en termes de structure pour laquelle les transformations monotones sont les morphismes . Le morphisme est un mot absurde abstrait général qui signifie fonction qui préserve une certaine structure .
Matthew Drury
Ok, je comprends le point général. Mais j'ai toujours le sentiment qu'il reste quelque chose d'inexpliqué, en particulier le point mentionné ci-dessus. J'ai voté positivement, mais pour cette raison, je n'accepterai pas votre réponse - peut-être que quelqu'un propose des informations supplémentaires. Merci encore!
A. Donda