Forme fermée pour , pour

Nous savons que si , alors où est la fonction Digamma. Existe-t-il un formulaire simple pour ?$p \sim Beta(\alpha, \beta)$

$$\mathbb{E}[\ln p] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)$$ $\psi(.)$$\mathbb{E}[\ln (1-p)]$

Notons Par la symétrie de la distribution bêta, En utilisant l'identité dans votre question, nous avons

$$1-p = q$$ $$q \sim \text{Beta}(\beta, \alpha)$$ $$\mathbb{E}[\ln (1-p)]=\mathbb{E}[\ln q]=\psi(\beta)-\psi(\alpha+\beta)$$