seuil de calcul pour le classificateur de risque minimum?

Supposons que deux classes et ont un attribut et ont la distribution et . si nous avons égal pour la matrice de coût suivante:$C_1$$C_2$$x$$\cal{N} (0, 0.5)$$\cal{N} (1, 0.5)$$P(C_1)=P(C_2)=0.5$

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

pourquoi, est le seuil du classificateur de risque (coût) minimum?$x_0 < 0.5$

Ceci est mon exemple de note que je comprends mal (c.-à-d. Comment ce seuil est atteint?)

Edit 1: Je pense que pour les seuils de rapport de vraisemblance, nous pouvons utiliser P (C1) / P (C2).

Edit 2: J'ajoute de Duda Book on Pattern du texte sur le seuil.

Pour une matrice de coûts

$$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \;\text{prediction} \\ \hspace{-1.9cm} \begin{matrix} c_1 & c_2 \end{matrix} \\ \hspace{-1.9cm}\text{truth}$$

la perte de prédire la classe lorsque la vérité est la classe est , et le coût de prédire la classe lorsque la vérité est la classe est . Il n'y a aucun coût pour des prédictions correctes, . Le risque conditionnel pour prédire l'une ou l'autre classe est alorsc 2 L 12 = 0,5 c 2 c 1 L 21 = 1 L 11 = L 22 = 0 R $c_1$$c_2$$L_{12} = 0.5$$c_2$$c_1$$L_{21} = 1$$L_{11} = L_{22} = 0$$R$$k$

$$\begin{align} R(c_1|x) &= L_{11} \Pr (c_1|x) + L_{12} \Pr (c_2|x) = L_{12} \Pr (c_2|x) \\ R(c_2|x) &= L_{22} \Pr (c_2|x) + L_{21} \Pr (c_1|x) = L_{21} \Pr (c_1|x) \end{align}$$ Pour un référence voir ces notes à la page 15.

Afin de minimiser le risque / la perte, vous prédisez si le coût de l'erreur de le faire (c'est la perte de la mauvaise prédiction multiplié par la probabilité postérieure que la prédiction est fausse ) est inférieur au coût de la prévision erronée de l'alternative,$c_1$$L_{12} \Pr (c_2|x)$

$$\begin{align} L_{12} \Pr (c_2|x) &< L_{21} \Pr (c_1|x) \\ L_{12} \Pr (x|c_2) \Pr (c_2) &< L_{21} \Pr (x|c_1) \Pr (c_1) \\ \frac{L_{12} \Pr (c_2)}{L_{21} \Pr (c_1)} &< \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)} \end{align}$$ où la deuxième ligne utilise la règle de Bayes . À probabilités antérieures égales vous obtenez $\Pr (c_2|x) \propto \Pr (x|c_2) \Pr (c_2)$$\Pr (c_1) = \Pr (c_2) = 0.5$ $$\frac{1}{2} < \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)}$$

vous choisissez donc de classer une observation car est le rapport de vraisemblance supérieur à ce seuil. Maintenant, il n'est pas clair pour moi si vous vouliez connaître le "meilleur seuil" en termes de rapports de vraisemblance ou en termes d'attribut . La réponse change en fonction de la fonction de coût. Utilisation du gaussien dans l'inégalité avec et , , $c_1$$x$$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$$\mu_1 = 0$$\mu_2 = 1$

$$\begin{align} \frac{1}{2} &< \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2 \right]}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_2)^2 \right]} \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-0)^2 - \left[ \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-1)^2 \right] \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< -\frac{x^2}{2\sigma^2} + \frac{x^2}{2\sigma^2} - \frac{2x}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^2} \\ \frac{x}{\sigma^2} &< \frac{1}{2\sigma^2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \\ x &< \frac{1}{2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \sigma^2 \end{align}$$ donc un seuil de prédiction en termes de$x$que vous recherchez ne peut être atteint que si les pertes résultant de fausses prédictions sont les mêmes, c.-à-d. car alors seulement vous pouvez avoir et vous obtenez le .$L_{12} = L_{21}$$\log \left( \frac{L_{12}}{L_{21}} \right) = \log (1) = 0$$x_0 < \frac{1}{2}$