Distribution du maximum de deux variables normales corrélées

Disons que j'ai deux variables aléatoires normales standard et qui sont conjointement normales avec le coefficient de corrélation .$X_1$$X_2$$r$

Quelle est la fonction de distribution de ?$\max(X_1, X_2)$

Selon Nadarajah et Kotz, 2008 , Distribution exacte des max / min de deux variables aléatoires gaussiennes , le PDF de $X = \max(X_1, X_2)$ semble être

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

où $\phi$ est le PDF et $\Phi$ est le CDF de la distribution normale standard.

$\hskip2in$

Soit le PDF normal bivarié pour avec les marginaux standard et la corrélation . Le CDF du maximum est, par définition,$f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

Le PDF normal bivarié est symétrique (via la réflexion) autour de la diagonale. Ainsi, l'augmentation de à ajoute deux bandes de probabilité équivalente au carré semi-infini d'origine: le carré supérieur infinitésimalement épais est tandis que son homologue réfléchi, le bande de droite, est .$z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

La densité de probabilité de la bande de droite est la densité de à fois la probabilité conditionnelle totale que trouve dans la bande, . La distribution conditionnelle de est toujours normale, donc pour trouver cette probabilité conditionnelle totale, nous n'avons besoin que de la moyenne et de la variance. La moyenne conditionnelle de en est la prédiction de régression et la variance conditionnelle est la variance "inexpliquée" .$X$$z$$Y$$\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Maintenant que nous connaissons la moyenne et la variance conditionnelles, le CDF conditionnel de donné peut être obtenu en standardisant et en appliquant le CDF normal normal :$Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

L'évaluer à et et multiplier par la densité de à (un pdf normal normal ) donne la densité de probabilité de la deuxième bande (à droite)$y=z$$X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

Doubler cela représente la bande supérieure équi-probable, donnant le PDF du maximum comme

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

Récapitulation

J'ai coloré les facteurs pour signifier leurs origines: pour les deux bandes symétriques; pour les largeurs de bande infinitésimales; et pour les longueurs de bande. L'argument de ce dernier, , n'est qu'une version standardisée de conditionnelle à .$\color{blue}2$$\color{black}{\phi(z)}$$\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$$\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$$Y=z$$X=z$