Probabilité d'un événement non mesurable

Nous savons par la théorie de la mesure qu'il existe des événements qui ne peuvent pas être mesurés, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas mesurables par Lebesgue. Comment appelons-nous un événement avec une probabilité que la mesure de probabilité ne soit pas définie? Quels types de déclarations ferions-nous à propos d'un tel événement?

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Cela ne calcule pas. Peut-être que j'ai besoin de café ou que je lis mal. Il existe une différence entre une fonction de mesure non définie et un ensemble non mesurable. Si la question est liée à la fonction, il s'agit simplement d'un point où la fonction n'est pas définie. Cela n'exclut pas la possibilité d'une fonction définie et constitue une mesure de probabilité valide.

Iterator

Si vous ne pouvez pas établir un ensemble non mesurable de Lebesgue sans l'axiome de choix, comment proposez-vous de savoir si un événement particulier avec une probabilité non mesurable s'est produit ou non?

Henry

@Henry: l'OP fait peut-être uniquement référence à la terminologie. Quant à la façon dont je pourrais me référer à un tel événement, je devrais invoquer Infinite Improbability Drive de Douglas Adams. Ou appelez cela un phénomène de la Reine Blanche, car elle pouvait croire 6 choses impossibles avant le petit déjeuner. :)

Iterator

Comme l'a souligné le cardinal, les ensembles non mesurables sont très largement utilisés dans la théorie des probabilités. Le livre Faible convergence et processus empiriques de van der Vaart donne une très bonne introduction. La lecture de ce livre nécessite une assez bonne formation en mathématiques, mais la théorie présentée est à mon avis belle.

mpiktas

Êtes-vous intéressé uniquement par les résultats impliquant la mesure de Lebesgue ou plus généralement dans le cadre de la théorie des probabilités? Il semble y avoir des doutes à ce sujet parmi les participants ici.

cardinal

Réponses:

Comme je l'ai indiqué dans les commentaires, la manière de traiter ces types d'événements (ensembles non mesurables) est décrite dans le livre: Faibles convergence et processus empiriques par A. van der Vaart et A. Wellner. Vous pouvez parcourir les premières pages.

La solution pour gérer ces ensembles est assez simple. Approximez-les avec des ensembles mesurables. Supposons donc que nous ayons un espace de probabilité . Pour tout ensemble définissez la probabilité externe (c'est à la page 6 du livre): $(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

P^{*} (B) = inf {(P (UNE), B \subset UNE, UNE \in UNE}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

Il s'avère que vous pouvez construire une théorie très fructueuse avec ce type de définition.

mpiktas
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Bien que je ne sois pas un expert en théorie des processus empiriques, j'ai l'impression que l'utilisation des probabilités externes n'est pas vraiment basée sur le désir d'attribuer des probabilités à des ensembles non mesurables, mais parce que vous ne voulez pas passer par les tracas de prouver en fait la mesurabilité tout le temps. Et si vous pouvez vivre sans des choses comme le théorème de Fubini, vous ne perdez rien en calculant simplement les probabilités externes.

NRH

Edit: À la lumière du commentaire du cardinal: Tout ce que je dis ci-dessous concerne implicitement la mesure de Lebesgue (une mesure complète). En relisant votre question, il semble que c'est aussi ce que vous demandez. Dans le cas de la mesure Borel générale, il peut être possible d'étendre la mesure pour inclure votre ensemble (ce qui n'est pas possible avec la mesure de Lebesgue car elle est déjà aussi grande que possible).

La probabilité d'un tel événement ne serait pas définie. Période. Tout comme une fonction à valeur réelle n'est pas définie pour un nombre complexe (non réel), une mesure de probabilité est définie sur des ensembles mesurables mais pas sur les ensembles non mesurables.

Alors, quelles déclarations pourrions-nous faire à propos d'un tel événement? Eh bien, pour commencer, un tel événement devrait être défini en utilisant l'axiome de choix. Cela signifie que tous les ensembles que nous pouvons décrire par une règle sont exclus. C'est-à-dire que tous les ensembles qui nous intéressent généralement sont exclus.

Mais ne pourrions-nous pas dire quelque chose sur la probabilité d'un événement non mesurable? Mettre une limite dessus ou quelque chose? Le paradoxe de Banach-Tarski montre que cela ne fonctionnera pas. Si la mesure du nombre fini de pièces dans lesquelles Banach-Tarski décompose la sphère avait une limite supérieure (disons, la mesure de la sphère), en construisant suffisamment de sphères, nous serions en contradiction. Par un argument similaire à l'envers, nous voyons que les pièces ne peuvent pas avoir une borne inférieure non triviale.

Je n'ai pas montré que tous les ensembles non mesurables sont aussi problématiques, bien que je pense qu'une personne plus intelligente que moi devrait être en mesure de présenter un argument montrant que nous ne pouvons en aucune manière cohérente mettre une limite non triviale sur la "mesure" "de tout ensemble non mesurable (défi à la communauté).

En résumé, nous ne pouvons pas faire de déclaration sur la mesure de probabilité d'un tel ensemble, ce n'est pas la fin du monde car tous les ensembles pertinents sont mesurables.

Har
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Il s'agit d'une réponse intéressante et informative. Mais, vous pourriez être trop concentré sur la mesurabilité de Lebesgue. Les ensembles non mesurables sont beaucoup plus répandus dans la théorie des probabilités.

cardinal

$\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

$\sigma$ $\sigma$

NRH
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