Estimation ML de la distribution exponentielle (avec données censurées)

Dans l'Analyse de survie, vous supposez que le temps de survie d'un rv est distribué de façon exponentielle. Considérant maintenant que j'ai "résultats" de de iid rv . Seule une partie de ces résultats est en fait "pleinement réalisée", c'est-à-dire que les observations restantes sont toujours "vivantes".x 1 , … , x n X $X_i$$x_1,\dots,x_n$$X_i$

Si je voulais effectuer une estimation ML pour le paramètre de taux de la distribution, comment puis-je utiliser les observations non réalisées de manière cohérente / appropriée? Je pense qu'ils contiennent encore des informations utiles pour l'estimation.$\lambda$

Quelqu'un pourrait-il me guider vers la littérature sur ce sujet? Je suis sûr que ça existe. J'ai cependant du mal à trouver de bons mots clés / termes de recherche pour le sujet.

Vous pouvez toujours estimer les paramètres en utilisant directement la vraisemblance. Soit les observations avec la distribution exponentielle de taux λ > 0 et inconnue. La fonction de densité est f ( x ; λ ) = λ e - λ x , la fonction de distribution cumulative F ( x ; λ ) = 1 - e - λ x et la fonction de queue G ( x ; $x_1, \dots, x_n$$\lambda>0$$f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$$F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$ . Supposons que les premières r observations sont pleinement observées, tandis que pour x r + 1 , … , x n, nous savons seulement que x j > t j pour certaines constantes positives connues t j . Comme toujours, la vraisemblance est la "probabilité des données observées", pour les observations censurées, donnée par P ( X j > t $G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$$r$$x_{r+1}, \dots, x_n$$x_j > t_j$$t_j$ , donc la fonction de vraisemblance complète est L ( λ ) = r ∏ i = 1 f ( x i ; λ ) ⋅ n ∏ i = r + 1 G ( t j ; λ ) La loglik vraisemblance devient alors l ( λ ) = r log λ - λ ( $P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$$ qui a la même forme que la loglik vraisemblance pour le cas habituel entièrement observé, sauf à partir du premier terme r log λ au lieu de n log λ . L' écriture T pour la moyenne des observations ettempscensure, l'estimateur devraisemblance maximale de λ devient λ = $$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$$ $r\log\lambda$$n\log\lambda$$T$$\lambda$ , que vous pouvez vous-même comparer avec le cas pleinement observé.$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$

 EDIT   

$r=0$

$$l(\lambda) = -nT \lambda$$ $\lambda$$\lambda=0$$\lambda$$\lambda$

Mais, dans tous les cas, la véritable conclusion des données dans ce cas est que nous devrions attendre plus de temps pour obtenir certains événements ...

$\lambda$$e^{-\lambda n T}$$p^n$$p$$[\underset{\bar{}}{p}, 1]$$\lambda$$\log p = -\lambda T$

$p$

$$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$$ $n\log p \ge \log 0.95$$\lambda$ $$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$$