Formule Schuette – Nesbitt

Je lisais l'article sur la formule Schuette-Nesbitt , qui est décrite comme "une généralisation du principe d'inclusion-exclusion" , qui a à la fois une version combinatoire et probabiliste. Un autre site Web a fourni une preuve des événements dépendants (téléchargement en pdf) et en a trouvé un troisième qui le compare au théorème de Waring (pdf)

Cependant, je suis toujours confus. J'ai essayé de trouver un exemple clair et élaboré en utilisant des probabilités discrètes (pour simplifier) ​​que les étapes sont claires d'une ligne à l'autre - pour aider à la compréhension globale de la formule.

Y a-t-il une bonne référence ou une réponse qui peut donner un court exemple élaboré?

J'ai trouvé un exemple dans le livre suivant et ma réponse est une version modifiée de la Sec 8.4.8.6 du livre afin de le rendre concis et clair.

Gerber, Hans U. "Assurance vie." Mathématiques d'assurance-vie. Springer Berlin Heidelberg, 1990.

$B_1,\cdots B_n$ sont des événements arbitraires. est une variable aléatoire s'étendant sur . Pour les coefficients réels arbitraires , la formule de Schuette – Nesbitt est l'identité d'opérateur suivante entre l'opérateur de décalage et l'opérateur de différence . Par définition, ils sont liés via , la formule SN est où est la somme symétrique entre ces événements et . Notez que$N$$\{0, 1, ... , m\}$$c_1,\cdots c_m$$E:c_n\mapsto c_{n+1}$$\Delta:c_n\mapsto c_{n+1}-c_{n}$$E=id+\Delta$

$$\sum_{n=0}^{m}c_n\cdot Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$$ $S_k=\sum_{j_1,\cdots j_k}Pr(B_{j1}\cap\cdots \cap B_{jk})$$n$$S_0=1$$[\Delta^{k}c_0]$ signifie opérateur de différence agissant sur . Par exemple, . Les deux opérateurs sont linéaires et ont donc des représentations en termes de matrice, ils peuvent donc être étendus aux anneaux polynomiaux et aux modules (puisque ces deux objets ont une "base", en gros). $c_0$$[\Delta^{2}c_0]=\Delta^{1}(c_1-c_0)=\Delta^{1}(c_1)-\Delta^{1}(c_0)=(c_2-c_1)-(c_1-c_0)=c_2-2c_1+c_0$ $$E=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$$ $$\Delta=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & -1 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & -1 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$$

La preuve utilise l'astuce d'indicateur et l'expansion du polynôme opérateur et le fait que et commute avec des indicateurs, je vous renvoie au livre de Gerber.$\prod_{j=1}^{m}(1+I_{B_j}\Delta)$$I_A\cdot I_B=I_{A\cap B}$$\Delta$

Si nous choisissons et tous les autres , alors la formule SN devient le principe d'inclusion-exclusion comme ci-dessous: $c_0=1$$c_1=c_2=\cdots=c_n=1$

$$\sum_{n=1}^{m} Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}\Delta^{k}c_0S_k=c_0 S_0+(c_1-c_0)S_1+(c_2-2c_1+c_0)S_2+\cdots =S_1-S_2+S_3+\cdots+(-1)^{n}S_n=[Pr(B_1)+\cdots+Pr(B_n)]-[Pr(B_1\cap B_2)+\cdots+Pr(B_{n-1}\cap B_{n})]+\cdots+(-1)^n\cdot Pr(S_1\cap\cdots \cap S_n)$$

Le théorème de Waring donne la probabilité que exactement des événements se produisent. Ainsi, il peut être dérivé en spécifiant et tous les autres = 0. La formule SN devient car tout terme lorsque , un changement de variable donnera la formule de Waring.$r$$n$$B_1,\cdots B_n$$c_r=1$$c$

$$Pr(N=r)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k=\sum_{k=r}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$$ $[\Delta^{k}c_0]=0$$k<r$$t=k-r$

Il y a un exemple d'affectation d'enveloppe dans le livre de Gerber que vous pouvez consulter, mais ma suggestion est de le comprendre en termes d'algèbre d'opérateur au lieu de probabilité.