Les probabilités d'erreurs de type I et II sont-elles corrélées négativement?

Dans une classe de statistiques élémentaires pour laquelle j'étais TA, le professeur a déclaré que lorsque la probabilité d'une erreur de type I augmente, la probabilité d'une erreur de type II β diminue et l'inverse est également vrai. Cela me suggère donc que ρ α , β < 0 .$\alpha$$\beta$$\rho_{\alpha, \beta} < 0$

Mais comment prouver cela pour un test d'hypothèse générale? La déclaration est-elle même vraie en général?

Je pourrais essayer un cas spécifique (disons et H 1 : μ < μ 0 ) mais évidemment, ce n'est pas assez général pour traiter cette question.$H_0: \mu = \mu_0$$H_1: \mu < \mu_0$

Ces quantités ( et β ) ne sont pas des variables aléatoires, j'hésite donc à parler de leur corrélation de Pearson; Je ne sais pas dans quel sens cela s'appliquerait.$\alpha$$\beta$

Les deux sont liés négativement dans le sens où, de manière raisonnablement générale (mais voir ci-dessous *) - et en tenant égales d' autres choses (comme la taille de l'échantillon et la taille de l'effet auquel vous calculez ) - si vous changez α , alors β déplacera le direction opposée (en particulier, dans des situations typiques, β est une fonction de α ; spécifiez suffisamment de quantités pour déterminer β et cela dépendra de α - et cette relation sera, dans la plupart des situations raisonnables - le type que vous voudriez utiliser dans un test réel - être dépendant négativement).$\beta$$\alpha$$\beta$$\beta$$\alpha$$\beta$$\alpha$

Considérons, par exemple, une courbe de puissance. Déplacer poussera la courbe de puissance ( 1 - β ) vers le haut ou vers le bas avec elle, donc β à un certain point sur la courbe (qui est la distance entre la courbe et 1) diminue à mesure que α augmente. Voici un exemple avec un test bilatéral (disons un test t).$\alpha$$1-\beta$$\beta$$\alpha$

Le cas unilatéral est similaire, mais vous vous concentreriez sur la moitié droite de l'image ci-dessus (les deux courbes dans la moitié gauche de l'image descendraient vers zéro)

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* il y a des situations où cela ne doit pas être le cas. Envisagez de tester un uniforme (0,1) via un test de Kolmogorov-Smirnov.

Considérons la possibilité qu'au lieu de cela, nous ayons un uniforme sur † (ou bien, toute distribution avec une certaine probabilité en dehors de l'intervalle unitaire).$(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

Si j'observe une valeur qui ne se trouve pas dans (0,1), le test de Kolmogorov-Smirnov ne rejette pas nécessairement le nul. Mais je peux faire un deuxième test, (appelons-le le test KS *), qui est comme le Kolmogorov-Smirnov, sauf que lorsque nous observons une valeur en dehors de (0,1), nous rejetons également la valeur nulle, que la statistique habituelle soit ou non atteint la valeur critique.

Ensuite, pour toute alternative qui a une probabilité en dehors de (0,1), nous avons réduit le taux d'erreur de type II (par rapport à celui du test KS ordinaire) sans changer du tout .$\alpha$

$\dagger$

$X$$f_0(x)$$f_1(x)$$H_0$$H_1$$\Gamma_0$$\Gamma_1$$\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$$\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$$H_i$$X \in \Gamma_i$

$$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$$ $\Gamma_0^\prime$$\Gamma_1^\prime$$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$ $$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$$ $$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$$

$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$

$\alpha$$\beta$