Habituellement, la théorie des probabilités est enseignée avec les axiomes de Kolgomorov. Les bayésiens acceptent-ils également les axiomes de Kolmogorov?
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Réponses:
À mon avis, l'interprétation de la probabilité par Cox-Jaynes fournit une base rigoureuse pour la probabilité bayésienne:
Les axiomes de la logique de probabilité dérivée par Cox sont:
Les axiomes P1-P3 impliquent ce qui suit (Beck, James L. "Identification du système bayésien basé sur la logique des probabilités." Contrôle structurel et surveillance de la santé 17.7 (2010): 825-847):
Ils impliquent la déclaration de logique de Kolmogorov, qui peut être considérée comme un cas spécial.
Dans mon interprétation d'un point de vue bayésien, tout est toujours (implicitement) conditionné à nos croyances et à nos connaissances.
La comparaison suivante est tirée de Beck (2010): Identification du système bayésien basée sur la logique des probabilités
Le point de vue bayésien
La probabilité est une mesure de plausibilité d'une déclaration basée sur des informations spécifiées.
Le point de vue fréquentiste
La probabilité est la fréquence relative d'occurrence d'un événement intrinsèquement aléatoire à long terme .
Comment dériver les axiomes de Kolmogorov des axiomes ci-dessus
Dans ce qui suit, la section 2.2 de [Beck, James L. "Identification du système bayésien basé sur la logique des probabilités." Contrôle structurel et surveillance de la santé 17.7 (2010): 825-847.] Est résumé:
Dans ce qui suit, nous utilisons: mesure de probabilité sur le sous-ensemble d'un ensemble fini :A XPr(A) A X
Afin de dériver (K1-K3) des axiomes de la théorie des probabilités, [Beck, 2010] a introduit la proposition qui énonce et spécifie le modèle de probabilité pour . [Beck, 2010] introduit en outre .x ∈ X x Pr ( A ) = Pr [ x ∈ A | π ]π x∈X x Pr(A)=Pr[x∈A|π]
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Après le développement de la théorie des probabilités, il a été nécessaire de montrer que des concepts plus souples répondant au nom de "probabilité" se mesuraient au concept rigoureusement défini qu'ils avaient inspiré. Les probabilités bayésiennes "subjectives" ont été examinées par Ramsey et de Finetti, qui ont montré indépendamment qu'une quantification du degré de croyance soumis aux contraintes de comparabilité et de cohérence (vos croyances sont cohérentes si personne ne peut faire un livre néerlandais contre vous) doit être une probabilité.
Les différences entre les axiomatisations sont en grande partie une question de goût concernant ce qui devrait être ce qui est défini et ce qui en dérive. Mais l'additivité dénombrable est l'une de celles de Kolmogorov qui ne peut pas être dérivée de celle de Cox ou de Finetti, et a été controversée. Certains bayésiens (par exemple de Finetti et Savage) s'arrêtent à une additivité finie et n'acceptent donc pas tous les axiomes de Kolmogorov. Ils peuvent mettre des distributions de probabilité uniformes sur des intervalles infinis sans irrégularité. D'autres suivent Villegas en assumant également la continuité monotone, et en tirent une additivité dénombrable.
Ramsey (1926), "Vérité et probabilité", dans Ramsey (1931), Les fondements des mathématiques et autres essais logiques
de Finetti (1931), "Sul significato soggettivo della probabilità", Fundamenta Mathematicæ , 17 , pp 298 - 329
Villegas (1964), "Sur la probabilité qualitative algèbres", Ann. Math. Statist. , 35 , 4.σ
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