Pourquoi la distribution d'échantillonnage de la variance est-elle une distribution chi carré?

La déclaration

La distribution d'échantillonnage de la variance de l'échantillon est une distribution khi carré avec un degré de liberté égal à , où est la taille de l'échantillon (étant donné que la variable aléatoire d'intérêt est normalement distribuée).$n-1$$n$

La source

Mon intuition

Cela a un sens intuitif pour moi 1) parce qu'un test du chi carré ressemble à une somme de carrés et 2) parce qu'une distribution de chi carré n'est qu'une somme de distribution normale au carré. Mais encore, je ne le comprends pas bien.

Question

La déclaration est-elle vraie? Pourquoi?

[Je suppose de la discussion dans votre question que vous êtes heureux d'accepter comme fait que si sont des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées N ( 0 , 1 ) alors ∑ k i = 1 Z 2 i ∼ χ 2 k .]$Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

Formellement, le résultat dont vous avez besoin découle du théorème de Cochran . (Bien qu'il puisse être montré d'autres manières)

Moins formellement, considérons que si nous connaissions la moyenne de la population et estimions la variance à son sujet (plutôt qu'à propos de la moyenne de l'échantillon): , puiss 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ , (Zi=(Xi-μ)/σ) qui sera$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ fois unevariable aléatoireχ 2 n .$\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

Le fait que la moyenne échantillon est utilisé, au lieu de la moyenne de la population ( ) fait la somme des carrés des écarts plus petits, mais seulement de telle façon que Σ n i = 1 ( Z ∗ i ) $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ (dont, voir le théorème de Cochran). Par conséquent, plutôt que n s 2 0 / σ 2 ∼ χ 2 n, nous avons maintenant ( n - 1 ) s 2 / σ 2 ∼ χ 2 n - 1 .$\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$