Une preuve de la stationnarité d'un AR (2)

Considérons un processus AR (2) centré sur la moyenne

$$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$$ où est le processus de bruit blanc standard. Par souci de simplicité, permettez-moi d'appeler et . En me concentrant sur les racines de l'équation des caractéristiques, j'ai obtenu Les conditions classiques dans les manuels sont les suivantes:$\epsilon_t$$\phi_1=b$$\phi_{2}=a$ $$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$$ $$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$$ J'ai essayé de résoudre manuellement (avec l'aide de Mathematica) les inégalités sur les racines, c'est-à-dire le système obtenant juste La troisième condition ( ) peut-elle être récupérée en ajoutant les deux solutions précédentes l'une à l'autre obtenant qui, par quelques considérations de signe, devient ? Ou est-ce que je manque une solution? $$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$$ $$a \pm b<1$$ $|a|<1$$a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$$|a|<1$

Je suppose que l'équation caractéristique dont vous partez est différente de la mienne. Permettez-moi de procéder en quelques étapes pour voir si nous sommes d'accord.

Considérons l'équation

$$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$$

Si $z$ est une racine de l'équation caractéristique "standard" $1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$ et en réglant $z^{-1}=\lambda$ , l'affichage obtient en réécrivant la norme comme suit:

$$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$$ Par conséquent, une condition alternative pour la stabilité d'un$AR(2)$est que toutes les racines du premier affichage se trouventàl'intérieurdu cercle unitaire,$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$.

Nous utilisons cette représentation pour dériver le triangle de stationnarité d'un processus $AR(2)$ , c'est-à-dire qu'un $AR(2)$ est stable si les trois conditions suivantes sont remplies:

1. $\phi_2<1+\phi_1$
2. $\phi_2<1-\phi_1$
3. $\phi_2>-1$

Rappelez-vous que vous pouvez écrire les racines du premier affichage (si elles sont réelles) sous la forme

$$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$$ pour trouver les deux premières conditions.

Alors, $AR(2)$ est stationnaire ssi $|\lambda|<1$ , donc (si les $\lambda_i$ sont réels):

$$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$$ Le plus grand des deux$\lambda_i$est délimité par$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$, ou: $$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$$ De façon analogue, nous constatons que$\phi_2<1 + \phi_1$.

Si $\lambda_i$ est complexe, alors $\phi_1^2<-4\phi_2$ et si

$$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$$ $$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$$ $|\lambda|<1$$-\phi_2<1$$\phi_2>-1$$\phi_2<1$ resulting from $\phi_2^2<1$ is redundant in view of $\phi_2<1+\phi_1$ and $\phi_2<1-\phi_1$.)

Plotting the stationarity triangle, also indicating the line that separates complex from real roots, we get

Produced in R using

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)