sous un gaussien

Cette question découle de la question suivante. /math/360275/e1-1x2-under-a-normal-distribution

Fondamentalement, quel est le $E\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$ sous un gaussien général $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$. J'ai essayé de réécrire$\frac{1}{1+x^2}$ comme un mélange scalaire de gaussiens ($\propto \int\mathcal{N}(x|0,\tau^{-1})Ga(\tau|1/2,1/2)d\tau$). Cela s'est également arrêté, à moins que vous n'ayez un truc sous la ceinture.

Si cette intégrale n'est pas analytique, aucune limite sensible?

Laisser $f_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$ être le Normal$(0,\sigma)$ PDF et $g(x) = \frac{1}{\pi}\left(1+x^2\right)^{-1}$ être le PDF d'une distribution de Student avec un df Parce que le PDF d'une normale$(\mu,\sigma)$ variable $X$ est $f_\sigma(x-\mu) = f_\sigma(\mu-x)$ (par symétrie), l'espérance est égale à

$$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\pi g(X)\right) = \int_\mathbb{R} f_\sigma\left((\mu-x)^2\right) \pi g(x)dx.$$

Ceci est la formule qui définit la convolution $(f\star \pi g)(\mu)$. Le résultat le plus fondamental de l'analyse de Fourier est que la transformée de Fourier d'une convolution est le produit de transformées de Fourier . De plus, les fonctions caractéristiques (cf) sont (jusqu'à des multiples appropriés) des transformées de Fourier des PDF. Le cf d'un normal$(0,\sigma)$la distribution est

$$\widehat{f}_\sigma(t) = \exp(-t^2\sigma^2/2)$$

et le cf de cette distribution Student t est

$$\widehat{g}(t) = \exp(-|t|).$$

(Les deux peuvent être obtenus par des méthodes élémentaires.) La valeur de la transformée de Fourier inverse de leur produit à$\mu$ est, par définition,

$$\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \widehat{f}_\sigma(t)\pi\widehat{g}(t) \exp(-i t \mu) dt =\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \exp(-t^2\sigma^2/2-|t|-i t \mu) dt.$$

Son calcul est élémentaire: effectuez-le séparément sur les intervalles $(-\infty,0]$ et $[0,\infty)$ simplifier $|t|$ à $-t$ et $t$, respectivement, et complétez le carré à chaque fois. Des intégrales proches du CDF normal sont obtenues - mais avec des arguments complexes. Une façon d'écrire la solution est

$$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-\frac{(\mu +i)^2}{2 \sigma ^2}} \left(e^{\frac{2 i \mu }{\sigma ^2}} \text{erfc}\left(\frac{1+i \mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)-\text{erf}\left(\frac{-1+i\mu}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)}{2 \sigma }.$$

Ici, $\text{erfc}(z) = 1 - \text{erf}(z)$ est la fonction d'erreur complémentaire où

$$\text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z \exp(-t^2)dt.$$

Un cas particulier est $\mu=0, \sigma=1$ pour laquelle cette expression se réduit à

$$\mathbb{E}_{1, 0}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.65567954241879847154\ldots.$$

Voici un tracé de contour de $\mathbb{E}_{\sigma,\mu}$ (sur un axe logarithmique pour $\sigma$).

Ceci est une idée comment le résoudre en utilisant l'identité

$$\frac{1}{S}=\int_0^\infty \exp(-tS)dt$$ qui a été proposé par Did ici . Vous pourriez utiliser

$$\begin{align}E\left(\frac{1}{x^2+1}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-t(x^2+1)\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm dx \mathrm dt\\ &=\int_0^\infty \exp\left(-t\right)\left(1+2t\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm dt\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left[\mbox{erf}\left(\sqrt{t+\frac{1}{2}}\right)\right]_0^\infty\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left(1-\mbox{erf}\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\end{align}$$