Quelle est la distribution du rapport de deux variables aléatoires de Poisson?

J'ai une question concernant les variables aléatoires. Supposons que nous avons deux variables aléatoires $X$ et $Y$ . Disons que $X$ est Poisson distribué avec le paramètre $\lambda_1$ , et $Y$ est Poisson distribué avec le paramètre . $\lambda_2$

Lorsque vous construisez la fracture à partir de et appelez cela une variable aléatoire , comment est-elle répartie et quelle est la moyenne? Est-ce ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution MarkDollar
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Je suis juste tombé sur cela lorsque je cherchais des références. L'inférence pour le coefficient de Poisson est assez simple, aussi bien pour les fréquentistes ( Nelson, 1970, "Confidence Intervals for the Ratio of Two Poisson Means and Poisson Predictor Intervals" ) que pour les Bayésiens (Lindley, 1965). Pas de problème avec zéro dénominateur non plus!

Frank Tuyl

Le questionneur d'origine, et d'autres, peuvent être intéressés de noter que

a une valeur d'attente

. En fonction de votre application , cela peut être plus utile que

. Pour plus de détails, voir mon article dans le Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, intitulé "Statistical biais in isotope ratios" w / DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Il s'agit d'un problème fréquemment rencontré en astronomie. La solution bayésienne a été élaborée par Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Bayesian Estimation of Hardness Ratios: Modeling and Computations ). Ils incluent une contamination de fond dans leur traitement.

user78543

D'après l'abstrait, il n'est pas évident qu'ils traitent de la question du PO. Comment cet article est-il lié à la distribution du rapport de deux variables aléatoires de Poisson?

Andy

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/…

kjetil b halvorsen

Réponses:

Je pense que vous allez avoir un problème avec ça. Parce que la variable Y aura des zéros, X / Y aura des valeurs non définies telles que vous n'obtiendrez pas de distribution.

bill_080
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+1 C'est vrai. Mais (pour éviter une confusion possible), le problème n'est pas seulement que

peut être égal à

: c'est qu'il peut être égal à

avec une probabilité positive. (Par exemple, un quotient de normales a une distribution même si le dénominateur peut être égal à

) Ainsi,

est indéfini avec une probabilité positive, ce qui rend sa moyenne (et tout autre moment) indéfinie également.

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

whuber

+1, mais dans la littérature sur les taux de fausses découvertes, les gens n'ont aucun problème avec

où

est le vrai positif et

est le nombre total de positifs :-). Il est toujours entendu, par convention, que 0 sur 0 est égal à 0.

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

NRH

@Mark: Il est probablement préférable de poser cette question en tant que nouvelle question et d'obtenir des informations précises sur ce que vous essayez de réaliser.

bill_080

@NRH Dans votre cas , il y a une forte dépendance de

sur

. Cela change complètement les choses, car maintenant la probabilité d'un rapport positif: zéro est nulle.

X

$X$

Y

$Y$

whuber

@whuber, c'est bien sûr vrai. Merci d'avoir fait remarquer cela. Je pensais simplement qu'il y avait peut-être une convention non déclarée pour donner un sens au problème. Mais d'après le commentaire de @ MarkDollar ci-dessus, il semble que ce n'était pas le cas au départ.

NRH

En réalisant que le rapport n'est en fait pas un ensemble mesurable bien défini, nous redéfinissons le rapport comme un ensemble correctement mesurable

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

Aaron Sheldon
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Suppose that

Y

$Y$ comes from a zero-truncated Poisson distribution. Would the answer then be:

Brash Equilibrium