Comment trouver une densité à partir d'une fonction caractéristique?

Une distribution a la fonction caractéristique

ϕ (t) = (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4), - \infty < t < \infty

$\phi(t) = (1-t^2/2)\exp(-t^2/4),\ -\infty \lt t \lt \infty$

Montrez que la distribution est absolument continue et écrivez la fonction de densité de la distribution.

Tentative:

\int_{- \infty}^{\infty} | (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) | ré t = (- 2 / t) (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) - 2 \exp (- t^{2} / 4) |_{- \infty}^{0}

$\int_{-\infty}^{\infty}|(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)|dt =(-2/t)(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)-2\exp(-t^2/4)|_{-\infty}^{0}$

Résultat similaire pour $[0,\infty]$ depuis $t$ est au carré.

Je ne suis pas sûr d'avoir bien fait l'intégration, mais si je peux montrer que la valeur absolue de $\phi(t)$ est inférieur à $\infty$ , alors la fonction est absolument continue.

probability distributions self-study characteristic-function statsguyz
la source

Utiliser ça

p (t) / \exp (t^{2}) \to 0

$p(t)/\exp(t^2)\to 0$ pour

t \to \pm \infty

$t\to \pm\infty$ pour tout polynôme

p

$p$ . Cela garantit que les deux queues sont intégrables.

Stefan Hansen

Les fonctions de densité sont trouvées avec la transformée de Fourier inverse. La fonction de densité de la distribution, si une telle densité existe, sera donnée par

F (t) = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- je t X} ϕ (X) ré X = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- je t X} ((1 - X^{2} / 2) e^{- X^{2} / 4}) ré X .

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\phi(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\left((1-x^2/2)e^{-x^2/4}\right) dx .$

Cette intégrale peut être divisée en deux, chacune ayant une intégrale de la forme

\exp (- Q_{t} (X)) X^{2 k}

$\exp(-Q_t(x))x^{2k}$

où $Q_t$ est une forme quadratique avec un terme principal négatif et $k$ est un entier non négatif. Cela fait de chaque intégrateur une fonction Schwartz (décroissant rapidement) , assurant son intégrabilité pour tout $t$ . L'intégrabilité prouve qu'elle est continue ; la décroissance rapide prouve qu'elle est absolument continue. Les intégrales sont facilement réalisées en complétant le carré dans l'exponentielle, en les réduisant à des multiples de moments pairs de la distribution gaussienne. Le résultat est

F (t) = \frac{2}{\sqrt{π}} t^{2} e^{- t^{2}} .

$f(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} t^2 e^{-t^2}.$

La continuité de $f$ confirme la conclusion antérieure d'une continuité absolue de la distribution.

Terrain de f

Le carré de cette variable (symétrique) a un Gamma $(3/2, 1)$ Distribution.

Alternativement, on pourrait reconnaître que

ϕ (t) = - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{t^{2}}{4}) e^{- t^{2} / 4} = (- je)^{2} \frac{{ré}^{2}}{ré t^{2}} 2 e^{- t^{2} / 4}

$\phi(t) = -2\left(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{4}\right)e^{-t^2/4} = (-i)^2\frac{d^2}{dt^2}2e^{-t^2/4}$

est proportionnelle à la dérivée seconde de la gaussienne $e^{-t^2/4}$ , impliquant (puisque l'opérateur $-id/dt$ sur les fonctions caractéristiques équivaut à la multiplication des fonctions de distribution par la variable) que la densité $f(x)$ existe et est proportionnelle à $x^2$ fois la densité dont le cf est $2e^{-t^2/4}$ . Cela est immédiatement reconnaissable comme une distribution gaussienne (normale) avec une densité proportionnelle à $e^{-x^2}$ . À ce stade, il suffit de déterminer la constante de normalisation de $2/\sqrt{\pi}$ via l'intégration ou en calculant la variance d'une distribution normale avec écart type $\sqrt{1/2}$ .

whuber
la source

Comment trouver une densité à partir d'une fonction caractéristique?

Réponses: