Signification des notations de probabilité et

Quelle est la différence de sens entre la notation et qui sont couramment utilisées dans de nombreux livres et articles? P ( z | d , w $P(z;d,w)$$P(z|d,w)$

Je crois que l'origine de ceci est le paradigme de vraisemblance (bien que je n'aie pas vérifié l'exactitude historique réelle des éléments ci-dessous, c'est une façon raisonnable de comprendre comment cela n'a pas été le cas).

Disons que dans un paramètre de régression, vous auriez une distribution: p (Y | x, beta) Ce qui signifie: la distribution de Y si vous connaissez (conditionnellement) les valeurs x et beta.

Si vous voulez estimer les bêtas, vous voulez maximiser la probabilité: L (bêta; y, x) = p (Y | x, bêta) Essentiellement, vous regardez maintenant l'expression p (Y | x, bêta) comme une fonction des bêta, mais à part cela, il n'y a pas de différence (pour les expressions mathématiques correctes que vous pouvez correctement dériver, c'est une nécessité --- bien qu'en pratique personne ne dérange).

Ensuite, dans les paramètres bayésiens, la différence entre les paramètres et les autres variables s'estompe rapidement, alors on a commencé à utiliser les deux notations en mélange.

Donc, en substance: il n'y a pas de différence réelle: ils indiquent tous les deux la distribution conditionnelle de la chose à gauche, conditionnelle à la (aux) chose (s) à droite.

est la densité de la variable aléatoire X au point x , θ étant le paramètre de la distribution. f ( x , θ ) est la densité conjointe de X et$f(x;\theta)$$X$$x$$\theta$$f(x,\theta)$$X$ au point ( x , θ ) et n'a de sens que si Θ est une variable aléatoire. f ( x | θ ) est la distribution conditionnelle de X étant donné Θ , et encore une fois, n'a de sens que si$\Theta$$(x,\theta)$$\Theta$$f(x|\theta)$$X$$\Theta$ est une variable aléatoire. Cela deviendra beaucoup plus clair lorsque vous approfondirez le livre et examinerez l'analyse bayésienne.$\Theta$

$f(x;\theta)$ est identique à$f(x|\theta)$ , signifiant simplement que$\theta$ est un paramètre fixe et la fonction$f$ est une fonction de$x$ . $f(x,\Theta)$ , OTOH, est un élément d'une famille (ou ensemble) de fonctions, où les éléments sont indexés par$\Theta$ . Une distinction subtile, peut-être, mais importante, en particulier. quand vient le temps d'estimer un paramètre inconnu$\theta$ sur la base de données connues$x$ ; à ce moment,$\theta$ varie et$x$est fixe, ce qui donne la "fonction de vraisemblance". L'utilisation de $\mid$ est plus courante chez les statisticiens, tandis que $;$parmi les mathématiciens.

Bien que cela n'ait pas toujours été ainsi, ces jours-ci est généralement utilisé lorsque d , w ne sont pas des variables aléatoires (ce qui ne veut pas dire qu'elles sont nécessairement connues). P ( z | d , w ) indique un conditionnement sur les valeurs de d , w . Le conditionnement est une opération sur des variables aléatoires et en tant que tel en utilisant cette notation lorsque d $P(z; d, w)$$d,w$$P(z | d, w)$$d,w$ ne sont pas des variables aléatoires est déroutant (et tragiquement courant).$d, w$

Comme le souligne @Nick Sabbe, est une notation courante pour la distribution d'échantillonnage des données observées y . Certains fréquentistes utiliseront cette notation mais insisteront sur le fait que Θ n'est pas une variable aléatoire, ce qui est un abus de l'OMI. Mais ils n'y ont aucun monopole; J'ai vu des Bayésiens le faire aussi, plaçant des hyperparamètres fixes à la fin des conditions.$p(y|X, \Theta)$$y$$\Theta$