Il s'avère que la convolution et la corrélation sont étroitement liées. Pour les signaux réels (et les signaux à énergie finie):
Convolution: y[ n ] ≜ h [ n ] ∗ x [ n ] =∑m = - ∞∞h [ n - m ]x [ m ]
Corrélation:RyX[ n ] ≜∑m = - ∞∞y[ n + m ]x [ m ] = y[ - n ] ∗ x [ m ]
Maintenant, dans les espaces métriques, nous aimons utiliser cette notation:
Rx y[ N ] ≜ ⟨ x [ m ] , y[ n + m ] ⟩ =∑m = - ∞∞x [ m ] y[ n + m ]
Le est le produit intérieur des vecteurs et où et . Ensuite, nous aimons également définir la norme d'un vecteur comme⟨ X , y ⟩Xyx ={x[n]}y ={y[ n ] }
∥ x ∥≜⟨ X,x ⟩-----√=∑m = - ∞∞x [ m ] x [ m ]------------√=∑m = - ∞∞X2[ m ]---------√
et cela ressemble beaucoup à la longueur euclidienne d'un vecteur avec un nombre infini de dimensions. Tout cela fonctionne très bien dans le cas où les éléments du vecteur sont tous réels. La normeest toujours réel et non négatif.x [ n ]X∥ x ∥
Donc, si nous généralisons et permettons aux éléments de d'avoir une valeur complexe, alors si la même définition de norme doit être utilisée,X
∥ x ∥ ≜⟨ X,x ⟩-----√
alors la définition du produit intérieur doit être légèrement modifiée:
⟨ X,y ⟩ =∑m = - ∞∞x [ m ]y∗[ m ]
Alors si a des éléments à valeurs complexes, la norme se présente comme suit:X
∥ x ∥≜⟨ X,x ⟩-----√=∑m = - ∞∞x [ m ]X∗[ m ]-------------√=∑m = - ∞∞∣∣x [ m ]∣∣2----------√
Donc, évidemment, Haykin est juste en train de ramener cette définition de produit intérieur à la définition de convolution.