Quelle est la véritable signification d'un système à phases minimales?

Quelle est la véritable signification d'un système à phases minimales ? La lecture de l'article Wikipédia et d' Oppenheim est une aide, en ce sens que nous comprenons que pour un système LTI , la phase minimale signifie que l'inverse est causal et stable. (Cela signifie donc que les zéros et les pôles sont à l'intérieur du cercle unitaire), mais qu'est-ce que la "phase" et le "minimum" ont à voir avec cela? Pouvons-nous dire qu'un système est en phase minimale en regardant la réponse en phase de la DFT d'une manière ou d'une autre?

La relation entre "minimum" et "phase" dans un système ou filtre à phase minimum peut être observée si vous tracez la phase non enveloppée par rapport à la fréquence. Vous pouvez utiliser un diagramme à pôles zéro de la réponse du système pour vous aider à faire un tracé graphique incrémentiel de la réponse en fréquence et de l'angle de phase. Cette méthode aide à faire un tracé de phase sans discontinuités de wrapping de phase.

Placez tous les zéros à l'intérieur du cercle unitaire (ou dans le demi-plan gauche dans le cas du temps continu), où tous les pôles doivent être également pour la stabilité du système. Additionnez les angles de tous les pôles et le négatif des angles de tous les zéros pour calculer la phase totale jusqu'à un point du cercle unitaire, car ce point de référence de réponse en fréquence se déplace autour du cercle unitaire. Tracer la phase en fonction de la fréquence. Comparez maintenant ce tracé avec un tracé similaire pour un diagramme de pôle zéro avec l'un des zéros échangés en dehors du cercle unitaire (phase non minimale). La pente moyenne globale de la ligne avec tous les zéros à l'intérieur sera inférieure à la pente moyenne de toute autre ligne représentant la même réponse du système LTI (par exemple avec un zéro réfléchi à l'extérieur du cercle unitaire). En effet, les "enroulements" de l'angle de phase sont tous annulés pour la plupart par le "

Cette disposition, tous les zéros à l'intérieur du cercle unitaire, correspond donc à l'augmentation totale minimale de phase, qui correspond au retard de phase total moyen minimum, qui correspond à la compacité maximale dans le temps, pour tout ensemble (stable) de pôles et de zéros avec la même réponse en amplitude de fréquence exacte. D'où la relation entre "minimum" et "phase" pour cet agencement particulier de pôles et de zéros.

Voir également mon ancienne image de mot avec d'étranges poignées de manivelle dans les anciennes archives comp.dsp d'usenet: https://groups.google.com/d/msg/comp.dsp/ulAX0_Tn65c/Fgqph7gqd3kJ

Comme vous l'avez déjà vu, la phase minimale a de nombreuses significations et implications physiques. D'où vient la phase, c'est que pour une amplitude donnée de réponse en fréquence, elle correspond au filtre qui a le moins de retard de groupe. C'est-à-dire que vous pouvez avoir plusieurs filtres avec la même amplitude de réponse en fréquence, mais l'un d'eux peut être réalisé avec le plus petit retard de filtre. En ce sens, il est hautement souhaitable dans les systèmes de contrôle où le retard de filtrage peut être critique pour la stabilité. J'abuse une notation ici, car la phase "delay" peut avoir plusieurs significations, mais l'essentiel est là (et pour le delay de groupe, c'est un fait).

Dans d'autres domaines, si un système est une phase minimale, son inverse aura tous ses pôles à l'intérieur du cercle unitaire et sera causal. Un système à phase minimale a donc un inverse stable. Ceci est important dans de nombreuses autres applications pour des raisons évidentes. Si vous devez résoudre un système d'équations linéaire, sachant que le système est à phase minimale garantit que son inverse sera la phase minimale, et donc la stabilité est garantie (en dehors de tout effet de quantification).

Il peut ne pas être évident si un système est une phase minimale en regardant la DFT. Il existe une relation entre l'ampleur d'un système à phases minimales et sa phase, mais elle peut ne pas être visuellement évidente. Cependant, les filtres à réseau adaptatifs ont la particularité de pouvoir identifier facilement les filtres de phase minimum si tous les coefficients de réflexion sont inférieurs ou égaux à un en amplitude. De cette façon, les filtres calculés de manière adaptative peuvent être déterminés s'ils sont stables à la volée avec peu de logique.

En train de lire

Cet article semble avoir une certaine sagesse au sujet des systèmes à phases minimales:

• John Bechhoefer, « Kramers-Kronig, Bode et la signification de zéro », American Journal of Physics 79 , 10 (2011).