Remplacer «e» dans la formule d'Euler par un autre nombre

La formule d'Euler reste-t-elle valable si nous utilisons un nombre réel autre que la constante ? Par exemple, remplacer par 5 donnerait la formule suivante: .$e$$e$$5^{it}$

J'ai essayé cette idée dans Matlab et remplacé par quelques autres nombres réels (par exemple 1,5, 10, 2,1) et à chaque fois l'intrigue montrait toujours ce qui semblait être des ondes cosinus et sinus. La fréquence du cos et du sin change en fonction de la base.$e$

Voici à peu près mon approche:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

Supposons que vous intéresse Notez que donc peut être écrit comme

$$M^{j2\pi f_0 t}. \tag{1}$$ $$M = e^{\log M},$$ $(1)$

$$\begin{align} M^{j2\pi f_0 t} &= \left( e^{\log M} \right) ^ {j2\pi f_0 t} \\ &= e^{j2\pi (f_0\log M) t} \\ &= \cos(2\pi (f_0\log M) t) + j \sin(2\pi (f_0\log M) t), \end{align}$$ qui est une sinusoïde complexe avec une fréquence . C'est pourquoi l'utilisation de au lieu de entraîne un changement de fréquence.$f_0 \log M$$M$$e$

C'est une question intéressante. Voyons quels nombres complexes non nuls ont la propriété qu'ils "agissent comme " dans la formule classique, c'est-à-dire que pour tout complexe . Pour plus de commodité, supposons que nous pouvons écrire$w$$e$

$$e^z = w^z$$ $z=x+iy$ $$w=re^{it}$$

Le symbole prend les multiples valeurs possibles $w^z$

$$w^z =e^{z\log w} = e^{(x+iy)(\overbrace{\ln r + it + 2k\pi i}^{\textrm{possible values of $\log w$}})} =e^{(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)}$$

Cela signifie que nous aurons lorsque pour certains . Mais cela signifie (en assimilant les parties réelles et imaginaires des deux côtés) Cela ne peut se produire pour tout (c'est-à-dire, tous ) que si et .$e^z=w^z$

$$(x+yi)-[(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)] = 2\pi n i$$ $n$ $$\begin{cases}x=x\ln r - yt-2k\pi y\\y=y\ln r + xt +2k\pi x + 2\pi n \end{cases}$$ $z$$x,y$$r=e$$t=k=n=0$

Mais cela signifie , donc il n'y a pas d'autre nombre complexe qui fera l'affaire.$w =e\cdot e^{0i}=e$$w$

Pour tout a, car " " et "ln (x)" sont des "fonctions inverses. Donc . Puis$a= e^{ln(a)}$$e^x$

$$a^{it}= e^{\ln(a^{it})}= e^{it \ln(a)}$$ $$a^{it}= e^{i (t \ln(a))}= \cos(t \ln(a))+ i \sin(t \ln(a)).$$