Zero, First, Second… nth-order Hold

9

La fonction rectangulaire est définie comme:

r e c t (t) = {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & if | t | = \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} . \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$

La fonction triangulaire est définie comme suit: C'est la convolution de deux fonctions rectangulaires identiques: Maintien d'ordre zéro et Premier- order hold utilisez ces fonctions. En fait, il a: pour le maintien d'ordre zéro, et pour la mise en attente de premier ordre. Depuis

tri (t) = {\begin{cases} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$

tri (t) = rect (t) * rect (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) d τ

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$

x_{Z O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) r e c t (t - n)

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \$

x_{F O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) t r i (t - n)

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \$

tri (t) = rect (t) * rect (t)

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , je voudrais savoir si ce n'est qu'une coïncidence ou si, pour le second ordre, maintenez la réponse impulsionnelle est

tri (t) * tri (t) = (rect (t) * rect (t)) * (rect (t) * rect (t)) .

$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$ Est-ce vrai aussi pour une prise d'ordre

générale

k

$k$ ? À savoir, mettez

x_{K - T H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) g_{k} (t - n)

$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \$ où

g_{k} (t - n)

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$ est la réponse impulsionnelle de la prise d'ordre

k

$k$ , je voudrais savoir si sa réponse impulsionnelle est

g_{k} (t - n) = (rect (t) * rect (t)) * \dots * (rect (t) * rect (t)),

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$ k fois.

sampling interpolation marque
la source

je n'ai pas vu de référence pour un ème ordre pour . je m'attendais à ce que ce soit la fonction convolue avec elle même fois. mais je ne sais pas quelle est la définition.

k

$k$

k > 1

$k>1$

rect (t)

$\operatorname{rect}(t)$

k - 1

$k-1$

robert bristow-johnson

1

@ robertbristow-johnson: Par analogie avec une prise d'ordre zéro (interpolation polynomiale d'ordre zéro, c'est-à-dire constante par morceaux), et une prise de premier ordre (interpolation polynomiale du premier ordre, c'est-à-dire linéaire par morceaux), une prise d'ordre n est une interpolation par morceaux par un polynôme d'ordre n. Il est mentionné ici (p. 6).

Matt L.

1

Celles-ci et ce que @ robertbristow-johnson décrit dans sa réponse ci-dessous sont appelées B-splines.

Olli Niemitalo

quelqu'un peut-il montrer avec une matrice d'image avec le facteur 2, s'il vous plaît? Et, je ne suis pas assez clair sur le facteur ici.

user30462

9

Ce n'est pas le cas. Tout d'abord, une attente de second ordre utiliserait trois points d'échantillonnage pour calculer un polynôme d'interpolation, mais votre réponse impulsionnelle suggérée est non nulle dans un intervalle de taille (en supposant un intervalle d'échantillonnage de , comme vous le faites dans votre question). Cependant, la réponse impulsionnelle correspondant à un maintien de second ordre doit avoir un support de longueur . $\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$ $4$ $T=1$ $3$

Maintenant, vous pourriez suggérer qu'un maintien d'ordre pourrait avoir une réponse impulsionnelle qui est la convolution de fonctions rectangulaires. Dans ce cas, vous obtiendrez la taille de support correcte, mais bien sûr, cela ne suffit pas. $n^{th}$ $n$

Une attente d'ordre calcule une interpolation par morceaux en utilisant points de données consécutifs. Ceci est en analogie avec une attente d'ordre zéro utilisant un seul point de données et une attente de premier ordre, qui utilise deux points de données. Cette définition est couramment utilisée dans la littérature (voir par exemple ici et ici ). $n^{th}$ $n+1$

Il est simple de montrer que le polynôme de second ordre qui interpole trois points de données , et est donné par $y[-1]$ $y[0]$ $y[1]$

\begin{matrix} (1) & P (t) = y [- 1] \frac{t (t - 1)}{2} + y [0] (1 - t^{2}) + y [1] \frac{t (t + 1)}{2} \end{matrix}

$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$

Afin de trouver la réponse impulsionnelle réalisant l'interpolation donnée par , nous devons assimiler à l'expression $(1)$ $(1)$

\begin{matrix} (2) & y [- 1] h (t + 1) + y [0] h (t) + y [1] h (t - 1) \end{matrix}

$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$

Si nous choisissons le support de la réponse impulsionnelle comme intervalle , ce qui équivaut à choisir l'intervalle d'interpolation , l'équation et donne l'impulsion suivante réponse d'une attente de second ordre: $h(t)$ $[-1,2]$ $[0,1]$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & h (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (t + 1) (t + 2), & - 1 < t < 0 \\ 1 - t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{1}{2} (t - 1) (t - 2), & 1 < t < 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

La réponse impulsionnelle d'une attente de second ordre ressemble à ceci: $(3)$

Je vous laisse le soin de montrer que cette réponse impulsionnelle ne peut pas être générée en convoluant trois fonctions rectangulaires entre elles.

Matt L.
la source

Matt, pouvez-vous fournir une référence pour votre représentation de ce qu'est une retenue de second ordre. je suis convaincu à 100% que l'intrigue est fausse.

robert bristow-johnson

j'ai corrigé l'équation. (1) (en supposant que la prémisse est correcte). je vous laisse le soin de refléter cela en .

h (t)

$h(t)$

robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson: J'ai annulé votre modification, car votre "correction" était incorrecte. Mon équation donne

, comme cela devrait être le cas; le vôtre donne

. Je vous laisse le soin de réfléchir à la raison de cette erreur.

P (- 1) = y [- 1]

$P(-1)=y[-1]$

P (- 1) = - y [- 1]

$P(-1)=-y[-1]$

Matt L.

je me tiens corrigé au sujet de la "correction". j'ai perdu le compte du nombre de signes négatifs. (en fait, je pensais que

qui est éteint par un signe moins. j'ai fait un peu plus de regard autour de

(t - 1) = 2

$(t-1)=2$

moi

6

c'est pourquoi je pense qu'une prise d'ordre est un $n$ opposé à lui-mêmefois. $\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$ $n$

Wikipédia n'est pas la référence finale de toutes choses, mais il y a quelque chose que j'ai reniflé à partir de là. envisager l'échantillonnage et la reconstruction (le Shannon Whittaker quelle que soit la formule). si l'entrée originale limitée en bande est et que les échantillons sont cette entrée limitée en bande peut être reconstruite à partir des échantillons avec $x(t)$ $x[n]\triangleq x(nT)$

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$

qui est la sortie d'un filtre brickwall idéal avec une réponse en fréquence:

\begin{aligned} H (f) & = rect (f T) \\ = {\begin{cases} 1 | f | < \frac{1}{2 T} \\ 0 | f | > \frac{1}{2 T} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$

lorsqu'il est piloté par la fonction idéalement échantillonnée

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = x (t) \cdot T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$

donc quand entre dans , ce qui en sort est . le facteur est nécessaire pour que le gain de bande passante du filtre de reconstruction, soit ou 0 dB sans dimension . $x_\text{s}(t)$ $H(f)$ $x(t)$ $T$ $H(f)$ $1$

cela signifie que la réponse impulsionnelle de ce filtre brickwall idéal est

\begin{aligned} h (t) & = F^{- 1} {H (f)} \\ = \frac{1}{T} sinc (\frac{t}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$

le reconstruit est $x(t)$

x (t) = h (t) ⊛ x_{s} (t)

$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$

nous ne pouvons clairement pas réaliser ce filtre de reconstruction parce qu'il n'est pas causal. mais avec suffisamment de retard, nous pourrions être en mesure de nous rapprocher de plus en plus avec un causal retardé . $h(t)$

maintenant un DAC pratique ne se rapproche pas particulièrement, mais comme il émet simplement la valeur d'échantillon pour la période d'échantillonnage immédiatement après l'échantillon, la sortie du DAC ressemble à ceci $x[n]$

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$

et il peut être modélisé comme un filtre avec une réponse impulsionnelle

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$

entraîné par le même . donc $x_\text{s}(t)$

x_{DAC} (t) = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t)

$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$

et la réponse en fréquence du filtre de reconstruction implicite est

\begin{aligned} H_{ZOH} (f) & = F^{- 1} {h_{ZOH} (t)} \\ = \frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{j π f T} sinc (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

notez le retard constant d'un demi-échantillon dans cette réponse en fréquence. c'est de là que vient la retenue d'ordre zéro .

ainsi, alors que le ZOH a le même gain DC que la reconstruction idéale de brickwall mais pas le même gain à d'autres fréquences. de plus, les images en ne sont pas complètement battues comme ce serait le cas avec le brickwall, mais elles sont un peu battues. $x_\text{s}(t)$

alors pourquoi, dans le POV du domaine temporel, est-ce? je pense que c'est à cause des discontinuités dans . ce n'est pas aussi mauvais que la somme des impulsions dirac en , mais a des discontinuités de saut. $x_\text{DAC}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$

comment se débarrasser des discontinuités de saut? peut-être les transformer en discontinuités du premier dérivé. et vous faites cela en utilisant si l'intégration dans le domaine temporel continu. donc une attente de premier ordre est celle où la sortie du DAC est exécutée via un intégrateur avec fonction de transfert $\frac{1}{j 2 \pi f T}$ $x[n] - x[n-1]$ $X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

$(1 - z^{-1})$ $(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$

\begin{aligned} H_{FOH} (f) & = F^{- 1} {h_{FOH} (t)} \\ = {(\frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T})}^{2} \\ = e^{j 2 π f T} {sinc}^{2} (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$

la réponse impulsionnelle de ceci est

\begin{aligned} h_{FOH} (t) & = F {H_{FOH} (f)} \\ = (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) ⊛ (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) \\ = \frac{1}{T} tri (\frac{t - T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$

$e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$

robert bristow-johnson
la source

Cela va finalement converger vers une réponse impulsionnelle gaussienne, et je ne peux pas donner beaucoup de sens intuitif à cela. Je crois fermement qu'une prise d'ordre n est - en complète analogie avec ZOH et FOH - un interpolateur polynomial d'ordre n. Je partage ce point de vue avec plusieurs autres auteurs: par exemple, ceux-ci et celui-ci . Je n'ai vu votre interprétation d'un n-ième ordre nulle part ailleurs.

Matt L.

un très long gaussien. la réponse impulsionnelle d'un

n

$n$ -le maintien de l'ordre sera

n + 1

$n+1$ sections adjacentes de morceaux

n

$n$ -des polynômes d'ordre concaténé de telle sorte que tous les dérivés, jusqu'à la

(n - 1)

$(n-1)$ -le dérivé sera continu. et je pense que c'est causal. BTW, je n'ai pas encore fini la réponse. Sorta craqué dessus, mais je prévois de tout lier ensemble finalement. et je vais corriger une grammaire entière

robert bristow-johnson

2

Une autre question a été signalée en double. Là, on a également demandé ce qu'est la prise polygonale . Elle et la prise polygonale semblent être des synonymes d'interpolation linéaire, où «les points sont connectés» plutôt que la sortie ressemblant à une scie comme dans la prise prédictive du premier ordre. La connexion des échantillons aux lignes nécessite de connaître à l'avance l'échantillon suivant afin que la ligne puisse être orientée dans la bonne direction. Dans le cadre de systèmes de contrôle en temps réel où les échantillons ne sont pas connus à l'avance, cela signifie que la sortie doit être retardée d'une période d'échantillonnage pour que les lignes se connectent au niveau des échantillons.

La rétention polynomiale (et non la rétention polygonale) comprend à la fois la rétention d'ordre zéro et la rétention de premier ordre.

Olli Niemitalo
la source

Zero, First, Second… nth-order Hold

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