Un «échantillonnage complexe» peut casser Nyquist?

J'ai entendu de façon anecdotique que l'échantillonnage de signaux complexes n'a pas besoin de suivre les taux d'échantillonnage de Nyquist mais peut en fait être obtenu avec des taux d'échantillonnage de moitié Nyquist. Je me demande s'il y a du vrai là-dedans?

De Nyquist, nous savons que pour échantillonner sans ambiguïté un signal, nous devons échantillonner au moins plus du double de la bande passante de ce signal. (Je définis la bande passante ici comme ils le font dans le lien wiki , alias l'occupation de la fréquence positive). En d'autres termes, si mon signal existe de -B à B, je dois échantillonner au moins> 2 * B pour satisfaire nyquist. Si je mixais ce signal jusqu'à fc et souhaitais faire un échantillonnage passe-bande, je devrais échantillonner au moins> 4 * B.

Tout cela est parfait pour des signaux réels.

Ma question est la suivante: y a-t-il une vérité dans l'affirmation selon laquelle un signal complexe en bande de base (aka, qui n'existe que d'un côté du spectre de fréquences) n'a pas besoin d' être échantillonné à un taux d'au moins> 2 * B, mais peut en fait être suffisamment échantillonné à un taux d'au moins> B?

(J'ai tendance à penser que si c'est le cas, c'est simplement de la sémantique, car il faut toujours prendre deux échantillons (un réel et un imaginaire) par temps d'échantillonnage afin de représenter complètement le phaseur rotatif, et donc de suivre strictement Nyquist .. .)

Quelles sont vos pensées?

Votre compréhension est correcte. Si vous échantillonnez à la fréquence , alors avec des échantillons réels uniquement, vous pouvez représenter sans ambiguïté le contenu fréquentiel dans la région (bien que la mise en garde qui autorise l' échantillonnage passe-bande s'applique toujours). Aucune information supplémentaire ne peut être conservée dans l'autre moitié du spectre lorsque les échantillons sont réels, car les signaux réels présentent une symétrie conjuguée dans le domaine fréquentiel; si votre signal est réel et que vous connaissez son spectre de à , alors vous pouvez conclure trivialement ce que l'autre moitié de son spectre est.$f_s$$[0, \frac{f_s}{2})$$0$$\frac{f_s}{2}$

Il n'y a pas une telle restriction pour les signaux complexes, donc un signal complexe échantillonné au débit peut contenir sans ambiguïté le contenu de à (pour une bande passante totale de ). Comme vous l'avez noté, cependant, il n'y a pas d'amélioration inhérente de l'efficacité à apporter ici, car chaque échantillon complexe contient deux composants (réel et imaginaire), donc si vous avez besoin de moitié moins d'échantillons, chacun nécessite deux fois plus de stockage de données, ce qui annule aucun avantage immédiat. Cependant, des signaux complexes sont souvent utilisés dans le traitement du signal, lorsque vous rencontrez des problèmes qui correspondent bien à cette structure (comme dans les systèmes de communication en quadrature).$f_s$$-\frac{f_s}{2}$$\frac{f_s}{2}$$f_s$

Il existe également une approche simple pour expliquer cela: si votre signal de bande de base réel a un spectre de -B à + B, vous échantillonnez avec 2B, donc assurez-vous que les répétitions spectrales du spectre ne se chevauchent pas. Un chevauchement signifierait que vous obtenez un alias et que vous ne pouvez pas reconstruire le spectre d'origine.

Maintenant, avec un signal complexe, le spectre varie, comme mentionné par Jason, de 0 à B. (Théoriquement, il peut également avoir un spectre à des fréquences négatives, mais dans la plupart des cas pratiques, il va de 0 à B.) Si vous échantillonnez avec taux B, car il n'y a pas de parties à des fréquences négatives dans le spectre d'origine, les répétitions de spectre ne se chevaucheront pas -> une reconstruction sans ambiguïté est possible!

Je dirais que c'est un `` non '' qualifié, dans le sens où le nombre d'échantillons réels individuels n'a pas été correctement clarifié, ainsi que l'objectif du choix du taux de numérisation du signal.

Premièrement, tous les signaux du monde réel sont réels plutôt que complexes. Autrement dit, chaque fois que nous sommes confrontés à une représentation complexe, nous avons en fait deux points de données (réels), qui devraient être pris en compte dans la limite de «Nyquist».

Le deuxième problème concerne les «fréquences négatives», telles qu'elles sont perçues à partir de la bande de base. Presque tout l'enseignement d'échantillonnage est du point de vue de la bande de base, donc les fréquences ont tendance à être 0..B, qui est ensuite échantillonné à fs. Les fréquences négatives sont en quelque sorte ignorées (en utilisant l'identité conjuguée complexe).

Il est possible de penser au signal de bande de base comme s'il était modulé à une fréquence nulle, mais le démarrage de la modulation de la porteuse au point nominal fs / 2 peut être éclairant, comme nous voyons ensuite les deux bandes latérales et le terme complexe (mathématique) de le transporteur. La fréquence précédemment négative a changé. Et nous pouvons ne plus avoir l'identité conjuguée complexe.

Si l'identité conjuguée complexe a été éliminée, nous n'avons plus le repliement de fréquence, et nous avons un enroulement simple autour du crénelage.

Donc, si nous avons un signal HF réel échantillonné pour fournir la démodulation de la représentation complexe, sans pliage, nous nous retrouvons en quelque sorte avec une bande passante fs / 4 (+/- B). Pour 4 échantillons de données (0, 90, 180, 270 degrés), nous émettons deux valeurs qui représentent les composantes en phase (0 - 180) et en quadrature (90 - 270) de l'échantillon complexe global.

Dans un monde entièrement complexe, si le signal est complexe, la fréquence d'échantillonnage est complexe, ce qui donne deux fois les termes. Cela dépend des fonctionnalités mathématiques dont vous avez besoin pour sortir du signal échantillonné.