Pourquoi la transformée de Fourier d'un peigne Dirac est-elle un peigne Dirac?

Cela n'a pas de sens pour moi, car l' inégalité de Heisenberg déclare que $\Delta t\Delta \omega$ ~ 1.

Par conséquent, lorsque vous avez quelque chose de parfaitement localisé dans le temps, vous obtenez quelque chose de complètement distribué en fréquence. D'où la relation de base $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ où $\mathfrak{F}$ est l' opérateur de transformée de Fourier .

Mais pour le peigne Dirac , appliquant la transformée de Fourier, vous recevez un autre peigne Dirac. Intuitivement, vous devriez également obtenir une autre ligne.

Pourquoi cette intuition échoue-t-elle?

Je crois que l'erreur est de croire qu'un peigne Dirac est localisé dans le temps. Ce n'est pas parce que c'est une fonction périodique et en tant que telle, elle ne peut avoir des composantes fréquentielles qu'à des multiples de sa fréquence fondamentale, c'est-à-dire à des points de fréquence discrets. Il ne peut pas avoir un spectre continu, sinon il ne serait pas périodique dans le temps. Comme toute autre fonction périodique, un peigne Dirac peut être représenté par une série de Fourier, c'est-à-dire comme une somme infinie d'exponentielles complexes. Chaque exponentielle complexe correspond à une impulsion de Dirac dans le domaine fréquentiel à une fréquence différente. La sommation de ces impulsions Dirac donne un peigne Dirac dans le domaine fréquentiel.

Votre intuition échoue parce que vous partez de fausses hypothèses. L'incertitude de Heisenberg ne dit pas ce que vous pensez qu'il dit. Comme vous le dites déjà dans votre question, c'est une inégalité . Pour être précis, c'est

Il n'y a aucune raison pour que le produit d'incertitude soit proche de sa limite inférieure pour tous les signaux. En fait, les seuls signaux qui atteignent cette limite la plus basse sont les atomes de Gabor. Pour tous les autres signaux, attendez-vous à ce qu'il soit plus grand et peut-être même infini.

les ingénieurs électriciens jouent un peu vite et librement avec la fonction delta de Dirac, qui, selon les mathématiciens, n'est pas une fonction (ou, du moins, pas une fonction "régulière", mais une "distribution"). le fait mathématique est que si $f(t)=g(t)$ "presque partout" (ce qui signifie à chaque valeur de $t$ sauf pour un nombre dénombrable de valeurs discrètes), alors

eh bien les fonctions $f(t)=0$ et $g(t)=\delta(t)$ sont égales partout sauf à $t=0$ , pourtant nous les ingénieurs électriciens insistons pour que leurs intégrales soient différentes. mais si vous mettez de côté cette petite différence (et, à mon avis, non pratique), la réponse à votre question est:

1. la fonction de peigne de Dirac

   $$\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$$ est une fonction périodique de la période $T$ et a donc une série de Fourier: $$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$$

2. si vous faites exploser les coefficients, $c_n$ , de la série de Fourier, vous obtenez:

3. donc la série de Fourier pour le peigne Dirac est

ce qui signifie que vous résumez simplement un tas de sinusoïdes d'amplitude égale.

4. la transformée de Fourier d'une seule sinusoïde complexe est:

and there is this property of linearity regarding the Fourier Transform. the rest of the proof is an exercise left to the reader.

I shall try to give an intuition. The way we could probably think is : "One Dirac delta gives us a 1 in frequency domain. Now I give infinite number of Dirac deltas. Shouldn't I get a higher DC?" Now let us see whether by adding all those frequency components mentioned in the Dirac comb in the frequency domain(FD), we get another Dirac comb in time domain(TD). We are adding continuous waveforms and getting deltas at discrete points. Sounds weird.

Coming back to the FD. We have a Dirac comb with spacing $\omega_0$. To put it in words, we have deltas at $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ and so on. We thus have a DC and infinite number of cosines, namely $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$ and so on.

Let's consider points in time domain corresponding to $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$. All the above cosine waves will give us value 1. Hence they all add up and give us non zero value at those points. Now what about any other t? We need to get convinced that they will all add up to zero.

Now deviating slightly, let's consider a waveform $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$. We know that unless k can be expressed as a fraction multiplied by $\pi$, it's aperiodic. What does that mean? There is not a single repeating sample. Each of the samples are unique. Looking it from another perspective, we have infinite number of samples which are unique and part of a cosine wave. This means taking all the infinite points, we will be able to construct a single CONTINUOUS cosine wave completely once. What if $cos(kn)$ is periodic? We already know that the sum of samples will be zero periodically based on value of k. Hence, sum of all the samples of $cos(kn)$ will give us zero for any value of k, except $k = 2\pi$'s multiple.

Returning back to our original problem : We now take an arbitrary $t=t_0 \neq 2r\pi$. Now we have $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$....as the value at $t=t_0$. But we have already proved this infinite sum =0 for any t except $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$, where all these cosines add up to give dirac deltas.