Résolution d'un problème de convolution d'un signal 1D

J'ai du mal à résoudre cet exercice. Je dois calculer la convolution de ce signal:

$$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$$

où $u(t)$ est la fonction Heavyside

eh bien j'ai appliqué la formule qui dit que la convolution de ces deux signaux est égale à

$$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$$

où $X(f)$ est la transformée de Fourier du premier signal et $W(f)$ est la transformée de Fourier du deuxième signal

ainsi la transformée de Fourier de $e^{-kt}u(t)$ est

$$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$$

Je dois faire un deuxième signal aussi égal que possible à $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

donc je fais cette opération:

$$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$$ c'est égal $${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$$

vrai ou pas?

Même si je me rends compte qu'il s'agit d'une réponse très tardive, j'essaierai néanmoins de répondre à cette question car je la trouve instructive et aussi parce que le nombre de votes positifs suggère que cette question présente un intérêt général pour la communauté.

Comme déjà suggéré dans la question, définissons deux signaux et w ( t ) comme x ( t ) = e - k t u ( t ) $x(t)$$w(t)$

$$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$$

Une interprétation possible de la convolution est qu'un signal amorti exponentiellement x ( t ) est filtré par un filtre passe-bas idéal avec une réponse impulsionnelle w ( t ) . Dans la question, il a également été correctement souligné que la convolution dans le domaine temporel correspond à la multiplication dans le domaine fréquentiel. L'intégrale de Fourier de x ( t ) peut être facilement calculée:$(x*w)(t)$$x(t)$$w(t)$$x(t)$

$$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$$

La transformée de Fourier de doit être familière car c'est un filtre passe-bas idéal. Dans la question, il y avait une certaine confusion concernant la définition de la fonction Sinc. Je suggère de simplement me souvenir de la réponse impulsionnelle d'un filtre passe-bas à gain unitaire avec une fréquence de coupure ω 0 = 2 π f 0 sans utiliser aucune des définitions de la fonction Sinc: h L P ( t ) = sin ω 0$w(t)$$\omega_0=2\pi f_0$

$$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$$

$w(t)$$w(t)$$\omega_0=\pi/10$

$$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$$ $u(\omega)$

$y(t)=(x*w)(t)$$Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

$$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$$

$\text{Ei}(x)$$\text{Si}(x)$$\text{Ci}(x)$

$y(t)$$k=0.05$$\omega_0=\pi/10$

$x(t)$$y(t)$$y(t)$$t<0$$\omega_0=\pi$$\pi/10$