Y a-t-il des avantages numériques à résoudre une matrice symétrique par rapport aux matrices sans symétrie?

J'applique la méthode des différences finies à un système de 3 équations couplées. Deux des équations ne sont pas couplées, cependant la troisième équation se couple aux deux autres. J'ai remarqué qu'en changeant l'ordre des équations, disons de à que la matrice des coefficients devient symétrique. $(x, y, z)$ $(x, z, y)$

Y a-t-il un avantage à faire cela? Par exemple, en termes de stabilité ou d'efficacité / vitesse de solution. Les matrices sont très clairsemées, si cela est important, les termes non nuls sont le long des diagonales centrales.

finite-difference symmetry boyfarrell
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Oui, il faut beaucoup moins d'efforts pour résoudre un système symétrique qu'un système asymétrique. Si, en plus, vous pouvez montrer que votre matrice de coefficients est définie positive, alors vous êtes bien placé.

Réponses:

Absolument!

Tout d'abord, certains systèmes d'algèbre linéaire sont suffisamment intelligents pour ne stocker que la moitié de la matrice, cela pourrait vous faire économiser beaucoup de mémoire. Mais même si ce n'est pas le cas, divers algorithmes d'algèbre linéaire numérique exploiteront la symétrie.

Par exemple, étant donné une matrice symétrique, tout eigensolver saura immédiatement que toutes les valeurs propres ont une valeur réelle, et la méthode de solution peut utiliser ce fait.

$Ax=b$

$A=LU$ $L$ $U$ $A$ $A=LL^T$

Nico Schlömer
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"... et la méthode de la solution peut utiliser ce fait, par exemple en supprimant les erreurs d'arrondi dans la partie imaginaire pendant le calcul." - plus comme l'environnement informatique utilise une méthode qui exploite la symétrie et est garantie de donner des résultats réels.