Demande de référence: Analyse rigoureuse d'algorithmes pour PDE et ODE

Je suis intéressé par des suggestions de références de livres sur le sujet de l'EDP numérique et de l'ODE, en particulier, une analyse rigoureuse de ces méthodes d'une manière écrite pour les mathématiciens professionnels. Il n'a pas besoin d'être extrêmement complet dans le sens d'énumérer des centaines ou des milliers de méthodes différentes, mais je serais intéressé par quelque chose qui couvre au moins la plupart des concepts clés qui guident les techniques modernes.

Je pense qu'il serait approprié de faire des analogies avec les manuels d'algèbre linéaire numérique, que je connais mieux. Je recherche quelque chose qui concerne les erreurs de stabilité et de troncature dans les équations différentielles numériques, car la précision et la stabilité des algorithmes numériques de Higham concerne les erreurs de stabilité et d'arrondi en algèbre linéaire numérique, et quelque chose qui discute des techniques modernes en ODE et PDE comme Golub et les calculs matriciels de Van Loan examinent la plupart des principaux types de techniques d'algèbre linéaire.

En fait, je sais très peu de choses sur les ODE et PDE numériques. J'ai lu un assortiment de notes en ligne et j'ai le livre Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential equations de Randall LeVeque, qui est un livre clair mais pas assez approfondi pour mes besoins. En tant qu'exemple plus concret du niveau que je recherche, j'espère que toute section sur les équations elliptiques et paraboliques suppose que le lecteur connaît parfaitement la théorie des espaces de Sobolev et leurs imbrications, et les solutions faibles pour PDE, et utilise les résultats de cette théorie plutôt librement en dérivant des estimations d'erreur pour les éléments finis, etc.

Vous ne trouverez pas une référence couvrant systématiquement l'analyse de toutes les méthodes importantes pour PDE. Le domaine des techniques de discrétisation pour PDE est au moins un ordre de grandeur plus grand que l'un ou l'autre sujet que vous avez mentionné ci-dessus. Pour toutes les méthodes impliquant des résolutions implicites, l'étude des discrétisations sans considérer également les méthodes de résolution (par exemple, les méthodes multigrilles associées) est une façon éprouvée de se peindre dans le coin "désespérément impraticable".

Vous connaissez probablement Brenner et Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods . C'est un texte de niveau supérieur, et bien qu'il ait sa part de matière introductive, vous pouvez rapidement obtenir les résultats importants.

Pour une analyse d'erreur a posteriori dans FEM, une bonne source est l'article de revue, Ainsworth et Oden, Estimation d'erreur a posteriori dans l'analyse par éléments finis , 1997 .

Pour les méthodes de volumes finis, vous aimerez peut-être l'article Acta Numerica Morton and Sonar, Méthodes de volumes finis pour les lois de conservation hyperboliques , 2007 . Selon les articles d'Acta Numerica, ce n'est pas très cité. Je soupçonne que c'est en partie parce que le livre de LeVeque est très bon et parce que la plupart des pratiquants qui n'ont pas utilisé son livre connaissent de nombreuses sources originales. Bien que je ne le connaisse pas, vous pouvez également consulter Bouchut, Stabilité non linéaire des méthodes de volumes finis pour les lois de conservation hyperboliques .

J'appuie le point de Jed sur l'importance de considérer les solveurs en même temps que les discrétisations. C'est quelque chose que les mathématiciens "plus purs" échouent parfois à faire, à leur détriment, car ils résolvent le mauvais problème . Des choses comme la structure des blocs, le modèle de rareté et la capacité à construire des préconditionneurs ont tendance à être beaucoup plus importantes que des choses simples comme le nombre de degrés de liberté / la taille du maillage.

Brezzi & Fortin - "Méthodes par éléments finis mixtes et hybrides" couvre des matériaux complémentaires à Brenner et Scott. Cependant, il est épuisé et les gens s'accrochent vraiment à leurs copies, donc si vous ne voulez pas payer plusieurs centaines de dollars, vous devrez probablement l'emprunter à votre bibliothèque.

La série d'articles de Rannacher et al au début des années 2000, comme «Une approche de contrôle optimal pour l' estimation d'erreur a posteriori dans les méthodes des éléments finis» fournit une compréhension plus approfondie et plus largement applicable de l'estimation d'erreur a posteriori que ce qui est expliqué dans Ainsworth et Oden. livre (à mon avis).

Les espaces Sobolev ne sont pas les espaces fonctionnels absolus pour les PDE, bien que vous puissiez avoir cette impression en lisant des livres d'introduction aux cycles supérieurs tels que Evans. Les espaces Besov sont plus généraux et assez agréables, et vous obligent à réfléchir à comment et pourquoi certains espaces fonctionnels sont construits en contrôlant les blocs de construction de base pour fournir des contraintes sur l'oscillation, l'intégrabilité et la structure à plusieurs échelles. Un bel article "philosophique" sur le thème des espaces fonctionnels est le post de Terry Tao ici . Le livre de Triebel (principalement sur les espaces de Besov), "Theory of Function Spaces II" , est génial! Il existe un lien profond entre les espaces de Besov et les ondelettes, donc l' article très lisible de DeVore sur les ondelettes est utile.

En plus des excellentes recommandations de Jed (je peux personnellement me porter garant pour Brenner + Scott comme un excellent livre d'introduction d'éléments finis), un excellent livre pour la solution numérique des ODE est Butcher:

http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC

C'était ma bible pendant un bon moment, jusqu'à ce que ma bibliothèque universitaire le rappelle.

Vous pourriez également trouver Ern + Guermond comme un livre précieux, si vous êtes déjà à l'aise avec les mathématiques délicates

http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC

Après avoir lu quelques articles d'Ern + Guermond, je peux dire qu'ils se tournent définitivement vers le formalisme. Les chapitres sont plus ou moins autonomes et modulo une notation que vous pourriez avoir à retourner pour obtenir la définition de.

Pour les PDE, un livre avec une saveur analytique fonctionnelle similaire à Ern et Guermond est D. Braess, Finite Elements , Cambridge University Press, 2007 . Étant un manuel plutôt qu'une monographie de recherche, il est plus accessible, bien que moins complet. D'autre part, il discute également des applications (principalement en élasticité).

En ce qui concerne les ODE, je crois que la Bible est toujours le travail en trois volumes de Hairer et Wanner ( Solving ODEs I , Solving ODEs II et Geometric Numerical Integration ).

Enfin, ne négligez pas les nombreuses excellentes notes de cours disponibles sur Internet.