Quelles méthodes d'intégration temporelle devrions-nous utiliser pour les EDP hyperboliques?

Si nous employons la méthode des lignes pour la discrétisation (discrétisation temporelle et spatiale séparée) des PDE hyperboliques que nous obtenons après discrétisation spatiale par notre méthode numérique préférée (fx. Méthode des volumes finis), est-ce important dans la pratique quel solveur ODE nous utilisons pour la discrétisation temporelle (TVD / SSP / etc)?

Quelques informations supplémentaires ajoutées: Le problème de précision peut être un problème pour les problèmes non fluides. Il est bien connu que les PDE hyperboliques non linéaires peuvent développer des chocs en temps fini malgré que la solution initiale soit lisse, auquel cas la précision peut se dégrader au premier ordre pour les méthodes de haut niveau.

L'analyse de stabilité ODE est généralement effectuée sur la base de la linéarisation pour obtenir un système semi-discret linéaire d'OD de la forme q_t = J q (avec un vecteur de perturbation qa), où les valeurs propres de J doivent être mises à l'échelle à l'intérieur de la région de stabilité absolue du temps choisi. méthode pas à pas. Des stratégies alternatives consistent à utiliser des pseudospectres ou éventuellement une méthode énergétique pour l'analyse de stabilité.

Je comprends que la motivation des méthodes TVD / SSP est d'éviter les oscillations parasites provoquées par les méthodes de pas de temps qui peuvent entraîner un comportement non physique. La question est de savoir si les expériences montrent que ces types de méthodes de progression temporelle sont supérieurs par rapport, par exemple, à un cheval de travail classique comme méthode Runge-Kutta explicite ou à d'autres. De toute évidence, ils devraient avoir de meilleures propriétés pour les classes de problèmes où la solution peut présenter des chocs. On pourrait donc dire que nous ne devrions utiliser que ces types de méthodes pour l'intégration temporelle.

Je ne sais pas si vous êtes toujours intéressé par une réponse, mais je vais quand même:

Vous avez déjà dit que vous connaissiez la formation de chocs dans les équations non linéaires. C'est exactement pourquoi vous devez choisir soigneusement votre intégrateur de temps. Il est inutile d'appliquer une discrétisation spatiale TVD lorsque la discrétisation temporelle n'est pas - vous verrez les mêmes oscillations que vous avez probablement vues avec des flux numériques d'ordre supérieur.

Ce qui revient à dire que l'avant Euler fonctionne. Vous avez déjà mentionné SSP (forte stabilité préservant) dans votre question. Il s'agit d'une classe spéciale de méthodes Runge-Kutta qui utilise cela. Fondamentalement, vous devez choisir les coefficients de la méthode de telle manière qu'elle puisse être écrite sous la forme d'une combinaison convexe d'étapes d'Euler. De cette façon, des propriétés comme TVD et autres seront préservées.

Il y a un très bon livre sur les méthodes SSP par Gottlieb, Ketcheson et Shu intitulé "Strong Stability Preserving Runge-Kutta and Multistep Time Discretizations" amazon link

Oui, c'est important. Les deux choses habituelles à s'inquiéter:

1. Précision. Certains schémas ODE sont plus précis que d'autres, d'ordre supérieur, etc. La règle d'or est de choisir une méthode avec un ordre de précision similaire à votre discrétisation spatiale.

2. La stabilité. Pour les problèmes hyperboliques, vous vous attendez à ce que l'opérateur ait des valeurs propres imaginaires pures, vous voulez donc un solveur ODE qui inclut une partie de l'accès imaginaire dans son domaine de stabilité. Voir par exemple l'annexe G dans Fornberg, A Practical Guide to Pseudospectral Methods.

Avec les équations hyperboliques, certaines personnes veulent s'assurer que leurs solutions sont toujours positives, il existe donc différents types de filtres et astuces pour assurer cela. Mais je n'en sais presque rien.

Je suis loin d'être un expert, mais j'ai pensé que j'essaierais de répondre car la question est là depuis un moment.