intégration numérique avec division possible par «zéro»

J'essaye d'intégrer

$$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$$

qui est une simple transformation de

$$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$$

en utilisant car il est difficile d'approximer numériquement les intégrales incorrectes. Cela pose cependant le problème de l'évaluation de la nouvelle intégrale proche de zéro. Il sera très facile d'obtenir le bon nombre de nœuds de quadrature, car l'intervalle n'est que de longueur 1 (donc ledtcomparablepeut être rendu très petit), mais quelle sorte de considérations dois-je faire lors de l'intégration près de zéro?$t = \frac1{x}$$dt$

À un certain niveau, je pense que prendre simplement est une bonne idée oùϵest un petit nombre. Cependant, quel numéro dois-je choisir? Doit-il s'agir d'une machine epsilon? La division par machine epsilon est-elle un nombre bien quantifié? De plus, si la division de ma machine epsilon (ou près de celle-ci) donne un nombre incroyablement élevé, alors prendreexp($\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$$\epsilon$deviendra encore plus grand.$\exp(\frac{1}{\epsilon})$

Comment dois-je en tenir compte? Existe-t-il un moyen d'avoir une intégrale numérique bien définie de cette fonction? Sinon, quelle est la meilleure façon d'intégrer la fonction?

$$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$$ $$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$$ $$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$$ $I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$

Jetez un œil à QUADPACK . Il a des routines d'intégration sur des domaines (semi-) infinis.