intégration numérique avec division possible par «zéro»

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J'essaye d'intégrer

01t2n+2exp(αr0t)t

qui est une simple transformation de

1X2nexp(-αr0X)X

en utilisant car il est difficile d'approximer numériquement les intégrales incorrectes. Cela pose cependant le problème de l'évaluation de la nouvelle intégrale proche de zéro. Il sera très facile d'obtenir le bon nombre de nœuds de quadrature, car l'intervalle n'est que de longueur 1 (donc ledtcomparablepeut être rendu très petit), mais quelle sorte de considérations dois-je faire lors de l'intégration près de zéro?t=1Xt

À un certain niveau, je pense que prendre simplement est une bonne idée oùϵest un petit nombre. Cependant, quel numéro dois-je choisir? Doit-il s'agir d'une machine epsilon? La division par machine epsilon est-elle un nombre bien quantifié? De plus, si la division de ma machine epsilon (ou près de celle-ci) donne un nombre incroyablement élevé, alors prendreexp(1ϵ1t2n+2exp(αr0t)tϵdeviendra encore plus grand.exp(1ϵ)

Comment dois-je en tenir compte? Existe-t-il un moyen d'avoir une intégrale numérique bien définie de cette fonction? Sinon, quelle est la meilleure façon d'intégrer la fonction?

drjrm3
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Avez-vous pensé à utiliser Monte Carlo?
Faheem Mitha
J'ai l'impression que cela ne résoudrait pas le problème. L'intégration de Monte Carlo est souvent réservée aux intégrales de grande dimension. Je rencontrerais exactement les mêmes problèmes avec Monte Carlo, j'aurais simplement moins de contrôle sur l'endroit où ma fonction est évaluée.
drjrm3
Il se peut que vous ayez raison.
Faheem Mitha
Je pense qu'il serait toujours bon d'avoir une réponse (peut-être à une question distincte et plus générale) expliquant comment on fait l'intégration numérique lorsque la fonction est divergente à une limite, pour le cas général où il n'est pas possible de faire l'intégrale analytiquement. Là encore, cela pourrait tout aussi bien être trouvé dans les recettes numériques ...
David Z
@Faheem: "Monte Carlo est une méthode extrêmement mauvaise; elle ne devrait être utilisée que lorsque toutes les méthodes alternatives sont pires." - Alan Sokal
JM

Réponses:

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1Xe-uneX=-1uneXe-uneX1--1une1e-uneX=e-uneune+e-uneune2=une+1une2e-une
1Xke-uneX=-1uneXke-uneX1--kune1Xk-1e-uneX=e-uneune+kune1Xk-1e-uneX
je(k)=e-uneune+kuneje(k-1)
je(0)=e-uneune
Matt Knepley
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absolument aucune idée de comment j'ai négligé cela. Merci.
drjrm3
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Les substitutions intelligentes et l'intégration par pièces doivent toujours être l'une des premières choses que vous faites avec des intégrales indisciplinées.
JM
1X2nexp(-αX)X en supposant n::nonnegint,α>0Γ(2n+1,α)α-2n-1
Erik P.
En fait, Mathematica choisit de représenter la réponse sous la forme ExpIntegralE [-2 n, ar]. Si vous exécutez FunctionExpand dessus, il donne la même réponse que Maple.
Searke
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Jetez un œil à QUADPACK . Il a des routines d'intégration sur des domaines (semi-) infinis.

GertVdE
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