Quadrature numérique avec dérivés

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La plupart des méthodes numériques de quadrature traitent l'intégrande comme une fonction de boîte noire. Et si nous avons plus d'informations? En particulier, quel avantage, le cas échéant, pouvons-nous tirer de la connaissance des quelques premières dérivées de l'intégrande? Quelles autres informations pourraient être utiles?

Pour les dérivées en particulier: les estimations d'erreur pour la quadrature de base (rectangle / trapézoïde / règles de Simpson) sont étroitement liées. Peut-être existe-t-il un moyen de présélectionner la résolution d'échantillonnage au lieu de s'appuyer sur l'adaptabilité dynamique?

Je m'intéresse à la fois au cas univarié et multidimensionnel.

quadrature error-estimation MRocklin
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Juste une correction mineure: le rectangle, le trapèze et la règle de Simpson sont des règles de type Newton-Cotes, pas des quadratures gaussiennes.

Pedro

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Je pense que ce n'est pas tout à fait ce que vous aviez en tête, mais pour être complet, commençons par quelques notions de base. La plupart des formules en quadrature telles que Newton-Cotes et Gauss sont basées sur l'idée que, pour évaluer approximativement l'intégrale d'une fonction, vous pouvez approximer la fonction par, par exemple, un polynôme que vous pouvez ensuite intégrer exactement:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Newton-Cotes et Gauss sont basés sur l' interpolation de Lagrange , ce qui signifie que vous interpolez la fonction donnée en utilisant ses valeurs sur un ensemble de nœuds (qui sont espacés uniformément pour Newton-Cotes et choisis de manière optimale dans un certain sens pour Gauss). Dans ce cas, et les intégrales sur les fonctions de base nodales polynomiales sont exactement les poids en quadrature. $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

La même approche fonctionne avec l' interpolation Hermite , c'est-à-dire l'interpolation utilisant les valeurs d'une fonction et ses dérivées jusqu'à un certain ordre sur un ensemble de nœuds. Dans le cas de la fonction et des valeurs dérivées premières uniquement, vous avez (Il existe une implémentation Matlab de cela, si vous souhaitez voir comment cela fonctionne.)

\int_{une}^{b} F (X) ré X \approx \int_{une}^{b} \sum_{j} F (X_{j}) p_{j} (X) + F^{'} (X_{j}) q_{j} (X) ré X = \sum_{j} F (X_{j}) w_{j} + F^{'} (X_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

Ceci est lié à une variante de la quadrature de Gauss appelée quadrature de Gauss-Legendre, où les nœuds sont choisis précisément pour faire disparaître les poids (ce qui est une autre explication du fait que la quadrature de Gauss à nœuds est exacte d'ordre ). Je pense que cela répond au moins partiellement à votre question dans le deuxième paragraphe. Pour cette raison, la quadrature de Gauss est généralement utilisée à la place de l'interpolation Hermite, car vous obtenez le même ordre avec le même nombre de points, mais vous n'avez pas besoin d'informations dérivées. $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

Pour la quadrature multidimensionnelle, vous êtes confronté au problème que le nombre de dérivés (y compris les dérivés mixtes) que vous devez évaluer augmente très rapidement à mesure que l'ordre augmente.

Pour en revenir à votre question: une façon simple d'exploiter les informations dérivées serait d'utiliser une subdivision de votre domaine d'intégration et d'utiliser une quadrature distincte pour chaque division. Si vous savez que les dérivées de votre fonction sont importantes dans une partie du domaine, vous utiliserez des domaines plus petits (en fait, une formule de quadrature sommée) ou un ordre de quadrature supérieur. Ceci est lié à l' adaptabilité h et p , respectivement, dans les méthodes d'éléments finis.

Christian Clason
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Il existe un certain nombre de règles d'intégration «corrigées» qui invoquent des dérivées des points d'extrémité. Un exemple simple est la règle trapézoïdale corrigée. Supposons que nous souhaitons approximer l'intégrale

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

Soit un entier, et . Ensuite, la règle trapézoïdale $n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (F (une) + 2 F (une + h) + 2 F (une + 2 h) + \dots + 2 F (une + (n - 1) h) + F (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

fournit une approximation simple de l'intégrale, avec une erreur d'ordre . Cependant, la règle trapézoïdale "corrigée": $h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (F^{'} (b) - F^{'} (une))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

augmente considérablement la précision. Par exemple, considérez

je = \int_{0}^{1} e^{- X^{2}} ré X

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

et choisissez . La valeur exacte de , à 14 décimales, est $n=8$ $I$

0,74682413281243

$0.74682413281243$

Et les valeurs de et sont $T$ $T'$

0,7458656148457, 0,74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

respectivement. Les erreurs sont

| je - T | = 9.5851796673207534 \times {dix}^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

et

| je - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times {dix}^{- sept}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

montrant une augmentation remarquable de la précision. Il existe d'autres corrections impliquant des dérivées plus élevées, ou à partir d'autres règles de Newton-Cotes ou règles de type gaussien.

Alasdair
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$\text{polynomial}\times\text{weight function}$ exactement. Comme prévu, pour utiliser cette règle, on devrait maintenant être en mesure d'évaluer votre fonction et un certain nombre de ses dérivées à des points réels arbitraires. Une recherche aux endroits habituels devrait permettre de trouver quelques références supplémentaires.

JM
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Bien que ce fil soit assez ancien, j'ai pensé qu'il pourrait être utile d'avoir une référence à un article évalué par des pairs pour généraliser certaines règles de quadrature courantes.

Nenad Ujevic, "Une généralisation de la règle de Simpson modifiée et des limites d'erreur", ANZIAM Journal, Vol. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

J'ai pensé qu'il serait utile de donner une bonne référence qui soit librement accessible et qui fasse référence à d'autres articles.

Comme Alasdair l'a noté ci-dessus, l'inclusion de dérivés des points d'extrémité peut augmenter considérablement la précision. Par exemple, Ujevic et Roberts ont montré que l'ajout de premières dérivées à la règle de Simpson réduit l'erreur au 6e ordre dans l'espacement de la grille, alors qu'il s'agit du 4e ordre sans les dérivées. L'article d'Ujevic montre que des limites d'erreur encore plus strictes peuvent être trouvées.

N. Ujevic et AJ Roberts, Une formule de quadrature corrigée et applications, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41 – E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason a suggéré que je déplace un commentaire que j'ai fait dans la réponse parce qu'il pensait que les références que je donnais étaient bonnes et qu'elles pourraient être perdues si les commentaires étaient effacés à un moment donné.)

Lysistrata
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Pouvez-vous commenter les résultats présentés dans l'article?

nicoguaro

Je peux maintenant avoir suffisamment de points de répétition! J'ai pensé qu'il serait utile de donner une bonne référence qui soit librement accessible et qui fasse référence à d'autres articles. Comme Alasdair l'a noté ci-dessus, l'inclusion de dérivés des points d'extrémité peut augmenter considérablement la précision. Par exemple, dans la référence 6 de l'article auquel j'ai lié, Roberts et Ujevic ont montré que l'ajout de premières dérivées à la règle de Simpson réduit l'erreur au 6e ordre dans l'espacement de la grille, alors qu'il s'agit du 4e ordre sans les dérivées. L'article d'Ujevic montre que des limites d'erreur encore plus strictes peuvent être trouvées.

Lysistrata

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@Lysistrata C'est une belle référence. Pouvez-vous modifier vos commentaires dans la réponse elle-même? Les commentaires peuvent disparaître, et il serait dommage de les perdre.

Christian Clason

Quadrature numérique avec dérivés

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