Évaluation numérique de l'intégrale fortement oscillatoire

Dans ce cours avancé sur les applications de la théorie des fonctions complexes à un moment donné dans un exercice l'intégrale hautement oscillatoire

$$I(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\lambda \cos x) \frac{\sin x}{x} d x$$

doit être approximée pour les grandes valeurs de utilisant la méthode du point de selle dans le plan complexe.$\lambda$

En raison de sa nature hautement oscillatoire, cette intégrale est très difficile à évaluer en utilisant la plupart des autres méthodes. Ce sont deux fragments du graphe de l'intégrande pour à différentes échelles:$\lambda = 10$

Une approximation asymptotique d'ordre supérieur est

$$I_{1}(\lambda) = \cos \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda}}$$

et un autre raffinement (beaucoup plus petit) ajoute le terme

$$I_2(\lambda)=\frac{1}{8} \sin \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda^{3}}}$$

Un graphique des valeurs approximatives en fonction de se présente comme suit:$\lambda$

Vient maintenant ma question: pour voir visuellement à quel point l'approximation est bonne, je voudrais la comparer à la "valeur réelle" de l'intégrale, ou plus précisément à une bonne approximation de la même intégrale en utilisant un algorithme indépendant. En raison de la petitesse de la correction de sous-reliure, je m'attendrais à ce que ce soit très proche.

J'ai essayé d'évaluer l'intégrale pour certains utilisant d'autres algorithmes, mais avec très peu de succès: Mathematica et Matlab utilisant l'intégrateur numérique par défaut ne parviennent pas à produire une valeur significative (et le rapportent explicitement), mpmath utilisant à la fois le doublement exponentiel substitution et la méthode de Gauss-Legendre produisent des résultats très bruyants, bien qu'elle ait une légère tendance à osciller autour des valeurs fournies par la méthode du point de selle, comme le montre ce graphique:$\lambda$$\tanh(\sinh)$

Enfin, j'ai tenté ma chance avec un intégrateur Monte-Carlo en utilisant un échantillon d'importance que j'ai implémenté, mais je n'ai pas réussi à obtenir de résultats stables non plus.

Quelqu'un at-il une idée de la façon dont cette intégrale pourrait être évaluée indépendamment pour une valeur fixe de ou plus?$\lambda > 1$

Utilisez le théorème de Plancherel pour évaluer cette intégrale.

L'idée de base est que pour deux fonctions ,$f,g$

$$I=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g^*(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} F(k) G^*(k) dk$$

où sont les transformées de Fourier de . Vos fonctions ont toutes deux un support relativement faible dans le domaine spectral. Ici, et devraient avoir une transformée de Fourier (ou série) analytique, comme l' expansion de Jacobi-Anger . Vous pouvez tronquer la série infinie à environ raison de la décroissance super-exponentielle de la fonction de Besselpour. J'espère que cela t'aides.$F,G$$f,g$$\sin x / x \rightarrow \text{rect}(k)$$\cos(\lambda\cos x)$λ | J n ( x ) | n > | x |$\lambda$$|J_n(x)|$$n>|x|$

Edit : En fait, vous devez utiliser les représentations de la série de Fourier ici au lieu des transformations. Le chemin de transformation conduit à dériver la représentation asymptotique que vous avez déjà (il s’agit juste de ). Le théorème de Plancherel ci-dessus fonctionne également pour les séries de Fourier avec un domaine d'intégration de sur la dernière intégrale.$\pi J_0(\lambda)$$[0,2\pi]$

$$\pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}$$

Asymptotiques

$$I(\lambda) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}}\left[\cos\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right) + c_1 \frac{\sin\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda} + c_2 \frac{\cos\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda^2} + c_3 \frac{\sin\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda^3} + \dots \right]$$ $c_1 = \frac{1}{8}$

int := NIntegrate[Cos[l*Cos[x]]*Sinc[x], {x, 0, 20.5*Pi}]; 
Plot[{l*(Sqrt[2*l/Pi]*int - Cos[l-Pi/4]), Sin[l-Pi/4]/8}, {l, Pi/4, 20}]

En sortie, vous obtenez un joli sinus qui coïncide avec celui que vous avez dérivé ci-dessus.

Si vous voulez trouver les coefficients suivants, un morceau de code un peu plus sophistiqué si nécessaire. L'idée du code ci-dessous est de prendre plusieurs valeurs limites hautes et de "moyenne" leurs résultats.

J[l_?NumericQ] := Block[{n=500},
  f[k_] := NIntegrate[Cos[l*Cos[x]]*Sinc[x], {x,0,(n+k)*Pi+Pi/2},
  Method->{"DoubleExponential"}, AccuracyGoal->14, MaxRecursion->100];
  1/2*((f[0]+f[1])/2+(f[1]+f[2])/2)
]
t = Table[{l, l^2*(Sqrt[2*l/Pi]*J[l] - Cos[l-Pi/4] - 1/8*Sin[l-Pi/4]/l)}, 
    {l, 4*Pi+Pi/4, 12*Pi+Pi/4, Pi/36}];
Fit[t, Table[Cos[l-Pi/4+Pi/2*n]/l^n, {n, 0, 10}], l]

$$\boxed{ \boxed{ c_2 = -\frac{9}{128}, \qquad c_3 = -\frac{75}{1024}, \qquad c_4 = \frac{3675}{32768}, \quad\dots }}$$

Explication

Exemple simple

$$S(x) = \int_{0}^x \frac{\sin(y)}{y} dy.$$ $S(\infty)=\frac{\pi}{2}$

$S(x)$

$$S_N = \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{n}.$$ $$S \approx S_N + \frac{1}{2}\frac{(-1)^{N+1}}{N+1}.$$ $$S(x) \approx \int_0^{\pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x}dx$$ $\max |S'(x)|$

Ton problème

$$I_{x_0}(\lambda) = 2\int_{0}^{x_0}\cos\left(\lambda\cos(x)\right)\operatorname{sinc}(x)dx$$ $x_0 = \pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}$$\lambda = 12\pi$

tab = Table[{x0, 2*NIntegrate[Cos[12*Pi*Cos[x]]*Sinc[x], {x, 0, x0}, 
     Method->{"DoubleExponential"}, AccuracyGoal->12, MaxRecursion->100]},
    {x0, 10*Pi+Pi/2, 30*Pi+Pi/2, Pi}];
tab1 = Table[(tab[[i]] + tab[[i+1]])/2, {i,1,Length[tab]-1}];
ListPlot[{tab, tab1}]

$$S_N' = \frac{1}{2}(S_N+S_{N+1})$$ $S_N'$

La méthode d'Ooura pour les intégrales de sinus de Fourier fonctionne ici, voir:

Ooura, Takuya et Masatake Mori, Une formule exponentielle double robuste pour les intégrales de type Fourier. Journal des mathématiques computationnelles et appliquées 112.1-2 (1999): 229-241.

J'ai écrit une implémentation de cet algorithme mais je n'ai jamais travaillé pour l'obtenir rapidement (par exemple, en mettant en cache les nœuds / poids), mais néanmoins, j'obtiens des résultats cohérents pour tout ce qui dépasse la précision flottante:

float     = 0.0154244
double    = 0.943661538060268
long dbl  = 0.943661538066058702
quad      = 0.943661538066060288748574485677942
oct       = 0.943661538066060288748574485680878906503533004997613278231689169604876
asymptotic= 0.944029734

Voici le code:

#include <iostream>
#include <boost/math/quadrature/ooura_fourier_integrals.hpp>
#include <boost/math/constants/constants.hpp>
#include <boost/multiprecision/float128.hpp>
#include <boost/multiprecision/cpp_bin_float.hpp>

template<class Real>
Real asymptotic(Real lambda) {
    using std::sin;
    using std::cos;
    using boost::math::constants::pi;
    Real I1 = cos(lambda - pi<Real>()/4)*sqrt(2*pi<Real>()/lambda);
    Real I2 = sin(lambda - pi<Real>()/4)*sqrt(2*pi<Real>()/(lambda*lambda*lambda))/8;
    return I1 + I2;
}

template<class Real>
Real osc(Real lambda) {
    using std::cos;
    using boost::math::quadrature::ooura_fourier_sin;
    auto f = [&lambda](Real x)->Real { return cos(lambda*cos(x))/x; };
    Real omega = 1;
    Real Is = ooura_fourier_sin<decltype(f), Real>(f, omega);
    return 2*Is;
}

template<class Real>
void print(Real val) {
   std::cout << std::defaultfloat;
   std::cout << std::setprecision(std::numeric_limits<Real>::digits10);
   std::cout <<  val <<  " = " << std::hexfloat << val;
}

int main() {
    using boost::multiprecision::float128;
    float128  s = 7;
    std::cout << "Asymptotic = " << std::setprecision(std::numeric_limits<float128>::digits10) << asymptotic(s) << "\n";
    std::cout << "float precision = ";
    print(osc(7.0f));
    std::cout << "\n";
    std::cout << "double precision= ";
    print(osc(7.0));
    std::cout << "\n";
    std::cout << "long double     = ";
    print(osc(7.0L));
    std::cout << "\n";
    print(osc(s));

    print(osc(boost::multiprecision::cpp_bin_float_oct(7)));
    std::cout << "\n";
}

$\lambda\to 0$