Exemple d'une fonction continue difficile à approximer avec des polynômes

À des fins d'enseignement, j'aurais besoin d'une fonction continue d'une seule variable qui est "difficile" à approximer avec des polynômes, c'est-à-dire qu'il faudrait des puissances très élevées dans une série de puissances pour "bien" s'adapter à cette fonction. J'ai l'intention de montrer à mes élèves les "limites" de ce qui peut être réalisé avec les séries de puissance.

J'ai pensé à concocter quelque chose de "bruyant", mais au lieu de lancer le mien, je me demande simplement s'il existe une sorte de "fonction difficile" standard que les gens utilisent pour tester des algorithmes d'approximation / interpolation, un peu de la même manière que ces fonctions de test d'optimisation qui ont de nombreuses minima locaux où les algorithmes naïfs se coincent facilement.

Toutes mes excuses si cette question n'est pas bien formulée; veuillez avoir pitié d'un non-mathématicien.

Pourquoi ne pas simplement afficher la fonction de valeur absolue?

L'approximation avec par exemple l'expansion polynomiale de Legendre fonctionne, mais assez mal :

L'expansion de Taylor est bien sûr complètement inutile ici, ne donnant toujours qu'une fonction linéaire, toujours décroissante ou toujours croissante (selon que le point autour duquel vous vous développez est négatif ou positif).

$|x|$

L'approximation n'est pas seulement rendue difficile par la fonction à approximer, mais par l'intervalle dans lequel l'approximation doit être un "bon ajustement". Et vous devez définir la mesure d'un "bon ajustement", c'est-à-dire quelle est l'erreur maximale (absolue ou relative) que vous souhaitez tolérer?

$\exp(x)$$[0,10]$$\sin(x)$$[0,2\pi]$

Les polynômes sont étonnamment efficaces pour l'approximation des fonctions [1]. Si vous avez au moins la continuité de Lipschitz, alors les approximations de Chebyshev convergeront. Bien sûr, la convergence peut être lente, et c'est le prix à payer pour traiter une fonction non lisse.

Aujourd'hui, les ordinateurs sont beaucoup plus rapides que l'époque à laquelle de nombreux livres d'analyse numérique ont été écrits, et des algorithmes intelligents ont encore augmenté la vitesse, de sorte que devoir utiliser plus de termes n'est peut-être pas aussi mauvais qu'auparavant.

Les exemples pathologiques comme la fonction de monstre de Weierstrass sont intéressants d'un point de vue théorique, mais ils ne sont pas représentatifs de la plupart des contextes d'application réels.

$|x|$$x=0$

Il est important d'enseigner les difficultés d'approximation avec les polynômes, mais il est également important de dire aux élèves que nous pouvons construire des estimations d'erreur et des algorithmes adaptatifs qui peuvent traiter ces problèmes.

[1] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[2] http://www.chebfun.org

$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

$-1<x<1$$x=0$$x=2$

$y = sin(x)$