Solutions fortes ou faibles de PDE

La forme forte d'une PDE nécessite que la solution inconnue appartienne à . Mais la forme faible nécessite seulement que la solution inconnue appartienne à .$H^2$$H^1$

Comment conciliez-vous cela?

Regardons le cas le plus simple de l'équation de Poisson sur un domaine avec des conditions de Dirichlet homogènes sur la frontière of . Nous supposons pour l'instant que est aussi lisse que nous le voulons (par exemple, peut être paramétré par une fonction ) - ce sera important plus tard.

La question est maintenant de savoir comment interpréter le PDE purement formel) . Habituellement, cela répond en termes d'interprétation de la dérivée , mais pour notre objectif, il est préférable de se concentrer sur la façon d'interpréter l' équation .$(1)$$\Delta$

1. La PDE est supposée tenir point par point pour chaque . Pour que cela ait du sens, le côté droit doit être continu, sinon nous ne pouvons pas parler de valeurs ponctuelles . Cela signifie que les dérivées secondes (classiques) de la solution doivent être continues, c'est-à-dire qu'il faut chercher . Une fonction qui satisfait avec la condition aux limites ponctuellement est appelée une solution classique (parfois, malheureusement, aussi une solution forte ).$(1)$x ∈ Ω f f ( x ) u u ∈ C 2 ( Ω ) u ∈ C 2 ( Ω ) ( 1 ) ( 2 )$x\in\Omega$$f$$f(x)$$u$$u\in C^2(\Omega)$
   
   $u\in C^2(\Omega)$$(1)$$(2)$

2. L'exigence que soit continu est beaucoup trop restrictive pour les applications pratiques. Si nous ne supposons pour tenir pointwise pour presque tous (c. -à- partout , sauf pour des ensembles de mesure de Lebesgue zéro), alors nous pouvons sortir avec . Cela signifie que les dérivées secondes sont des fonctions dans , ce qui est logique si nous prenons des dérivées faibles et recherchons donc . (N'oubliez pas que pour les fonctions qui ne sont pas continues, nous ne pouvons pas prendre la condition aux limites point par point. Puisque$f$$(1)$x ∈ Ω f ∈ L 2 ( Ω ) L 2 u ∈ H 2 ( Ω ) ∩ H 1 0 ( Ω ) u ( 2 ) ∂ Ω ˉ Ω u ∈ H 2 ( Ω ) ∩ H 1 0 ( Ω ) ( 1 )$x\in \Omega$$f\in L^2(\Omega)$$L^2$$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$$u$$(2)$$\partial \Omega$a zéro mesure de Lebesgue comme sous-ensemble de , point par point presque partout n'a pas de sens non plus.) Une fonction qui satisfait ponctuellement presque partout est appelé une solution forte . Notez qu'il est en général nécessaire et non trivial de montrer qu'une telle solution existe et est unique (ce qui est le cas pour l'exemple ici).$\bar\Omega$
   
   $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$$(1)$

3. Si nous avons déjà affaire à des dérivés faibles, nous pouvons également assouplir davantage les hypothèses sur . Si nous prenons pour tenir comme une équation d'opérateur abstraite dans , l'espace double de , alors cela a du sens pour tout (qui est un espace plus grand que ). À peu près par définition de l'espace dual et de la dérivée faible, dans ce sens équivaut à l' équation variationnelle Une fonction$f$$(1)$$H^{-1}(\Omega)$$H^1_0(\Omega)$$f\in H^{-1}(\Omega)$$L^2(\Omega)$$(1)$

   $$\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$$
   $u\in H^1_0(\Omega)$qui satisfait est appelé une solution faible . Là encore, il est en général nécessaire et non trivial de montrer qu'une telle solution existe et est unique (ce qui est le cas pour l'exemple ici).$(3)$

Maintenant, puisque les dérivés classiques sont également des dérivés faibles, chaque solution classique est également une solution forte. De même, par l'intégration du sous-ensemble , chaque solution forte est également une solution faible. Les autres directions sont plus subtiles.$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

• Si a une solution unique, qui satisfait par ailleurs pour (plutôt que juste ), alors la solution faible est également une solution forte (et pour également une solution classique puisque dans ce cas s'intègre dans ). Cette propriété est parfois appelée régularité maximale (elliptique) et vaut pour l'équation de Poisson en supposant que la frontière (et les données de frontière) sont suffisamment lisses. (C'est là que l'hypothèse ci-dessus entre en jeu.)$(3)$$u\in H^2(\Omega)$$f\in L^2(\Omega)$$H^{-1}(\Omega)$$n=2$$H^2(\Omega)$$C(\bar\Omega)$∂ Ω$\partial\Omega$

• Sinon, il peut arriver même pour que le PDE ait une solution faible mais pas une solution forte.$f\in L^2(\Omega)$

• Si la régularité maximale ne tient pas, il peut aussi arriver que la PDE ait une solution forte unique (qui est donc aussi une solution faible), mais pas une solution faible unique. Cela signifie qu'il existe de nombreuses solutions faibles dans, par exemple, , mais qu'une seule est également dans et donc une solution forte. (Les exemples réels nécessitent des espaces plus compliqués; voir, par exemple, Meyer, Christian; Panizzi, Lucia; Schiela, Anton , Critères d'unicité pour l'équation adjointe dans le contrôle optimal elliptique contraint par l'état , Numer. Funct. Anal. Optim. 32, Non 9, 983-1007 (2011). ZBL1230.35041 , ou des équations non linéaires plus compliquées; voir, par exemple, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/$H^1_0(\Omega)$$H^2(\Omega)$.)